Номер 7.12, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.12. Решите уравнение:

1) $7^{-2x} = 21 + 3^{-1};$

2) $0,01 \cdot 10^3x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2;$

3) $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}} x = 2^2 \cdot 3;$

4) $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3 \cdot 2} x = 10^{-1}.$

1) $7^{-2}x = 21 + 3^{-1}$

Сначала преобразуем степени с отрицательным показателем, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{1}{49}x = 21 + \frac{1}{3}$

Теперь вычислим сумму в правой части уравнения, приведя слагаемые к общему знаменателю 3:

$21 + \frac{1}{3} = \frac{21 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{63}{3} + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{49}x = \frac{64}{3}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 49:

$x = \frac{64}{3} \cdot 49$

$x = \frac{64 \cdot 49}{3} = \frac{3136}{3}$

Этот ответ можно также представить в виде смешанной дроби: $x = 1045\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{3136}{3}$

2) $0,01 \cdot 10^3x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2$

Упростим числовые выражения в уравнении:

$0,01 = 10^{-2}$

$10^3 = 1000$

$5^2 = 25$

Подставим эти значения в уравнение:

$0,01 \cdot 1000x + 25 - x = 2 \cdot 25$

Выполним вычисления:

$10x + 25 - x = 50$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части, а свободные члены перенесем в правую:

$10x - x = 50 - 25$

$9x = 25$

Разделим обе части на 9, чтобы найти $x$:

$x = \frac{25}{9}$

Этот ответ можно также представить в виде смешанной дроби: $x = 2\frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{25}{9}$

3) $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}}x = 2^2 \cdot 3$

Сначала упростим коэффициент перед $x$. Используем свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Упростим числитель дроби: $3 \cdot 3^{-2} = 3^1 \cdot 3^{-2} = 3^{1-2} = 3^{-1}$.

Знаменатель дроби: $6^{-2}$.

Коэффициент при $x$ равен $\frac{3^{-1}}{6^{-2}}$. Используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, получаем:

$\frac{3^{-1}}{6^{-2}} = 3^{-1} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$.

Теперь упростим правую часть уравнения:

$2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Уравнение принимает вид:

$12x = 12$

Разделим обе части на 12:

$x = \frac{12}{12} = 1$.

Ответ: $1$

4) $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3 \cdot 2}x = 10^{-1}$

Упростим коэффициент перед $x$. Используем свойства степеней: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ и $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$).

Упростим числитель дроби: $5^3 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3)^3 = 15^3$.

Упростим знаменатель дроби: $12^0 \cdot 15^3 \cdot 2 = 1 \cdot 15^3 \cdot 2 = 2 \cdot 15^3$.

Таким образом, коэффициент при $x$ равен:

$\frac{15^3}{2 \cdot 15^3}$

Сократим дробь на $15^3$ (так как $15^3 \neq 0$):

$\frac{1}{2}$.

Теперь упростим правую часть уравнения:

$10^{-1} = \frac{1}{10}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}x = \frac{1}{10}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Этот ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $x=0,2$.

Ответ: $\frac{1}{5}$