Номер 8.2, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (8.1-8.2):

8.2.

1) $(x^2y)^6 : (x^5y^3)^2 \cdot xy;$

2) $(xy^3)^7 \cdot (x^6y^4)^3 : (x^{24}y^{32});$

3) $\left(\frac{x}{y}\right)^8 : \left(\frac{x^2}{y}\right)^4 \cdot xy^5;$

4) $x^5y^8 \cdot (xy)^5 : (x^5y^3)^2.$

1) $(x^2y)^6 : (x^5y^3)^2 \cdot xy$

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала возведем в степень выражения в скобках, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(x^2y)^6 = (x^2)^6 \cdot y^6 = x^{2 \cdot 6}y^6 = x^{12}y^6$

$(x^5y^3)^2 = (x^5)^2 \cdot (y^3)^2 = x^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = x^{10}y^6$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$x^{12}y^6 : x^{10}y^6 \cdot xy$

Выполним деление, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$(x^{12} : x^{10}) \cdot (y^6 : y^6) \cdot xy = x^{12-10}y^{6-6} \cdot xy = x^2y^0 \cdot xy$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($y^0=1$), получаем:

$x^2 \cdot 1 \cdot xy = x^2 \cdot xy$

Теперь выполним умножение, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^2 \cdot x^1 \cdot y = x^{2+1}y = x^3y$

Ответ: $x^3y$

2) $(xy^3)^7 \cdot (x^6y^4)^3 : (x^{24}y^{32})$

Сначала раскроем скобки, применяя свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(xy^3)^7 = x^7 \cdot (y^3)^7 = x^7y^{21}$

$(x^6y^4)^3 = (x^6)^3 \cdot (y^4)^3 = x^{18}y^{12}$

Подставим эти результаты в выражение:

$x^7y^{21} \cdot x^{18}y^{12} : (x^{24}y^{32})$

Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$x^{7+18}y^{21+12} : (x^{24}y^{32}) = x^{25}y^{33} : (x^{24}y^{32})$

Теперь выполним деление ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$\frac{x^{25}y^{33}}{x^{24}y^{32}} = x^{25-24}y^{33-32} = x^1y^1 = xy$

Ответ: $xy$

3) $(\frac{x}{y})^8 : (\frac{x^2}{y})^4 \cdot xy^5$

Возведем дроби в степень, используя свойства $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{x}{y})^8 = \frac{x^8}{y^8}$

$(\frac{x^2}{y})^4 = \frac{(x^2)^4}{y^4} = \frac{x^8}{y^4}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{x^8}{y^8} : \frac{x^8}{y^4} \cdot xy^5$

Выполним деление дробей, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{x^8}{y^8} \cdot \frac{y^4}{x^8} \cdot xy^5$

Сгруппируем и упростим переменные $x$ и $y$:

$\frac{x^8}{x^8} \cdot \frac{y^4}{y^8} \cdot xy^5 = x^{8-8}y^{4-8} \cdot xy^5 = x^0y^{-4} \cdot xy^5 = y^{-4} \cdot xy^5$

Выполним оставшееся умножение:

$x \cdot y^{-4} \cdot y^5 = x \cdot y^{-4+5} = x \cdot y^1 = xy$

Ответ: $xy$

4) $x^5y^8 \cdot (xy)^5 : (x^5y^3)^2$

Раскроем скобки, используя те же свойства степеней:

$(xy)^5 = x^5y^5$

$(x^5y^3)^2 = (x^5)^2(y^3)^2 = x^{10}y^6$

Подставим преобразованные части в выражение:

$x^5y^8 \cdot x^5y^5 : (x^{10}y^6)$

Выполним умножение в числителе:

$x^{5+5}y^{8+5} : (x^{10}y^6) = x^{10}y^{13} : (x^{10}y^6)$

Выполним деление:

$\frac{x^{10}y^{13}}{x^{10}y^6} = x^{10-10}y^{13-6} = x^0y^7 = 1 \cdot y^7 = y^7$

Ответ: $y^7$