Номер 8.12, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.12. Вместо звездочки запишите число, чтобы было верным равенство:

1) $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7$;

2) $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7$;

3) $5^5 \cdot 5^{-2} \cdot * = 5^7$.

1) Чтобы найти число, которое нужно вписать вместо звездочки, обозначим его за $x$. Получим уравнение: $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot x = 2^7$.

Для решения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Преобразуем левую часть уравнения: $2^{5 + (-2)} \cdot x = 2^7$, что упрощается до $2^3 \cdot x = 2^7$.

Теперь выразим $x$. Для этого разделим обе части уравнения на $2^3$.

$x = \frac{2^7}{2^3}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Следовательно, $x = 2^{7-3} = 2^4$.

Проверим: $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot 2^4 = 2^{5-2+4} = 2^7$. Равенство выполняется.

Ответ: $2^4$.

2) В равенстве $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7$ необходимо найти неизвестный множитель. Обозначим его за $x$.

Сначала приведем все степени к одному основанию. Заметим, что основания 4 и 8 являются степенями числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Перепишем члены уравнения с основанием 2, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$

$8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{3 \cdot (-2)} = 2^{-6}$

$4^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14}$

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

$2^{10} \cdot 2^{-6} \cdot x = 2^{14}$

Упростим левую часть, сложив показатели: $2^{10-6} \cdot x = 2^{14}$, то есть $2^4 \cdot x = 2^{14}$.

Найдем $x$: $x = \frac{2^{14}}{2^4} = 2^{14-4} = 2^{10}$.

Так как правая часть исходного равенства представлена как степень с основанием 4, представим и наш ответ в виде степени с основанием 4:

$x = 2^{10} = 2^{2 \cdot 5} = (2^2)^5 = 4^5$.

Проверим: $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot 4^5 = 4^5 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 4^5 = 4^5 \cdot 2^{-6} \cdot 4^5 = 4^5 \cdot (2^2)^{-3} \cdot 4^5 = 4^5 \cdot 4^{-3} \cdot 4^5 = 4^{5-3+5} = 4^7$. Равенство выполняется.

Ответ: $4^5$.

3) Дано равенство: $5^5 \cdot 5^{-2} \cdot * = 5^7$. Обозначим искомое число за $x$.

$5^5 \cdot 5^{-2} \cdot x = 5^7$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для левой части:

$5^{5+(-2)} \cdot x = 5^7$

$5^3 \cdot x = 5^7$

Выразим $x$, разделив обе части на $5^3$:

$x = \frac{5^7}{5^3}$

Используем свойство деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$x = 5^{7-3} = 5^4$.

Проверим: $5^5 \cdot 5^{-2} \cdot 5^4 = 5^{5-2+4} = 5^7$. Равенство выполняется.

Ответ: $5^4$.