Номер 8.17, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.17. Докажите тождество:

1) $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = 1 + x^6$;

2) $(b^4 - b^3) : b^2 = b^2 - b$;

3) $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{4}{a^{-4}}$.

1) Для доказательства тождества $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = 1 + x^6$ преобразуем его левую часть, используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).

Левая часть: $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0$.

Упростим выражение по шагам:

$x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = x^3 : x^{-1 \cdot 3} + 1 = x^3 : x^{-3} + 1$.

Далее, применяя правило деления степеней с одинаковым основанием:

$x^3 : x^{-3} + 1 = x^{3 - (-3)} + 1 = x^{3+3} + 1 = x^6 + 1$.

Полученное выражение $x^6 + 1$ совпадает с правой частью тождества $1 + x^6$, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(b^4 - b^3) : b^2 = b^2 - b$ преобразуем его левую часть. Можно разделить каждый член в скобках на $b^2$.

Левая часть: $(b^4 - b^3) : b^2$.

Выполним деление почленно, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$(b^4 - b^3) : b^2 = (b^4 : b^2) - (b^3 : b^2) = b^{4-2} - b^{3-2} = b^2 - b^1 = b^2 - b$.

Полученное выражение $b^2 - b$ в точности совпадает с правой частью тождества.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{4}{a^{-4}}$, преобразовав его левую и правую части по отдельности.

Сначала преобразуем левую часть: $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2$.

Вычислим числитель и знаменатель дроби: $2^4 : 4 = 16 : 4 = 4$ и $14^0 \cdot a^{-2} = 1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{4}{a^{-2}} \cdot a^2$.

Используя свойства степеней $1/a^{-n} = a^n$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упрощаем дальше:

$\frac{4}{a^{-2}} \cdot a^2 = 4a^2 \cdot a^2 = 4a^{2+2} = 4a^4$.

Теперь преобразуем правую часть: $\frac{4}{a^{-4}}$.

Используя свойство $1/a^{-n} = a^n$, получаем: $4a^4$.

Так как левая часть ($4a^4$) равна правой части ($4a^4$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.