Номер 8.18, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.18. Упростите выражение:

1) $\frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}};$

2) $\frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5};$

3) $\frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}};$

4) $\frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2}.$

1) Для упрощения данного выражения $\frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}}$ применим свойства степеней.

Сначала упростим числитель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель: $(b^5)^3 \cdot (b^7)^7 = b^{5 \cdot 3} \cdot b^{7 \cdot 7} = b^{15} \cdot b^{49} = b^{15+49} = b^{64}$.

Далее упростим знаменатель, используя правило умножения степеней:

Знаменатель: $b^{19} \cdot b^{38} = b^{19+38} = b^{57}$.

Теперь выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{b^{64}}{b^{57}} = b^{64-57} = b^7$.

Ответ: $b^7$

2) Упростим выражение $\frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5}$.

Упростим числитель по правилу умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $c^{50} \cdot c^{11} = c^{50+11} = c^{61}$.

Упростим знаменатель, используя правила возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножения степеней:

Знаменатель: $(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5 = c^{20 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 5} = c^{40} \cdot c^{10} = c^{40+10} = c^{50}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель по правилу деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{c^{61}}{c^{50}} = c^{61-50} = c^{11}$.

Ответ: $c^{11}$

3) Упростим выражение $\frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}}$.

Упростим числитель, используя свойства степеней:

$(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23} = a^{9 \cdot 3} \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot a^{23} = a^{27} \cdot a^{12} \cdot a^{23} = a^{27+12+23} = a^{62}$.

Упростим знаменатель:

$a^{40} \cdot a^{18} = a^{40+18} = a^{58}$.

Выполним деление:

$\frac{a^{62}}{a^{58}} = a^{62-58} = a^4$.

Ответ: $a^4$

4) Упростим выражение $\frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2}$.

Сначала преобразуем числитель, используя правила возведения степени в степень и умножения степеней:

$d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2 = d^{13} \cdot d^{8 \cdot 3} \cdot d^{7 \cdot 2} = d^{13} \cdot d^{24} \cdot d^{14} = d^{13+24+14} = d^{51}$.

Теперь преобразуем знаменатель:

$(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2 = d^{3 \cdot 10} \cdot d^{6 \cdot 2} = d^{30} \cdot d^{12} = d^{30+12} = d^{42}$.

В итоге получаем дробь, которую упрощаем по правилу деления степеней:

$\frac{d^{51}}{d^{42}} = d^{51-42} = d^9$.

Ответ: $d^9$