Номер 8.25, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.25. Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней:

1) $ \frac{(a^{-3} \cdot x^1)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2}; $

2) $ \frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1}; $

3) $ \frac{(3^3 \cdot x^4)^2}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}. $

1) Исходное выражение: $\frac{(a^{-3} \cdot x^1)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2}$.

Сначала раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойства степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

Числитель: $(a^{-3} \cdot x^1)^2 = (a^{-3})^2 \cdot (x^1)^2 = a^{-3 \cdot 2} \cdot x^{1 \cdot 2} = a^{-6}x^2$.

Знаменатель: $(a^{-2})^2 \cdot x^{-7} = a^{-2 \cdot 2} \cdot x^{-7} = a^{-4}x^{-7}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{a^{-6}x^2}{a^{-4}x^{-7}} \cdot 2^{-2}$.

Упростим дробь, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для каждого основания отдельно.

$\frac{a^{-6}}{a^{-4}} = a^{-6 - (-4)} = a^{-6+4} = a^{-2}$.

$\frac{x^2}{x^{-7}} = x^{2 - (-7)} = x^{2+7} = x^9$.

Таким образом, дробь равна $a^{-2}x^9$.

Теперь умножим на оставшийся множитель: $a^{-2}x^9 \cdot 2^{-2}$.

Чтобы избавиться от отрицательных показателей степени, используем правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$a^{-2}x^9 \cdot 2^{-2} = \frac{1}{a^2} \cdot x^9 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{x^9}{4a^2}$.

Ответ: $\frac{x^9}{4a^2}$

2) Исходное выражение: $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $(b^3 \cdot y^{-3})^2 = (b^3)^2 \cdot (y^{-3})^2 = b^{3 \cdot 2} \cdot y^{-3 \cdot 2} = b^6y^{-6}$.

Знаменатель: $(b^2)^2 \cdot y^7 = b^{2 \cdot 2} \cdot y^7 = b^4y^7$.

Выражение принимает вид: $\frac{b^6y^{-6}}{b^4y^7} \cdot y^{-1}$.

Упростим дробь: $\frac{b^6}{b^4} \cdot \frac{y^{-6}}{y^7} = b^{6-4} \cdot y^{-6-7} = b^2y^{-13}$.

Теперь умножим результат на $y^{-1}$, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$b^2y^{-13} \cdot y^{-1} = b^2y^{-13+(-1)} = b^2y^{-14}$.

Приведем выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей:

$b^2y^{-14} = b^2 \cdot \frac{1}{y^{14}} = \frac{b^2}{y^{14}}$.

Ответ: $\frac{b^2}{y^{14}}$

3) Исходное выражение: $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}}$.

Упростим числитель: $(3^3 \cdot x^4)^{-2} = (3^3)^{-2} \cdot (x^4)^{-2} = 3^{-6}x^{-8}$.

Упростим знаменатель: $(3^2)^2 \cdot x^{-7} = 3^4x^{-7}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{3^{-6}x^{-8}}{3^4x^{-7}} = 3^{-6-4}x^{-8-(-7)} = 3^{-10}x^{-1}$.

Второе слагаемое: $\frac{2}{x^{-3}}$. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $\frac{2}{1/x^3} = 2x^3$.

Теперь сложим оба слагаемых: $3^{-10}x^{-1} + 2x^3$.

Избавимся от отрицательных степеней: $\frac{1}{3^{10}x} + 2x^3$.

Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.

Получаем сумму: $\frac{1}{59049x} + 2x^3$.

Для выполнения сложения приведем слагаемые к общему знаменателю $59049x$.

$\frac{1}{59049x} + \frac{2x^3 \cdot 59049x}{59049x} = \frac{1}{59049x} + \frac{118098x^4}{59049x} = \frac{1 + 118098x^4}{59049x}$.

Ответ: $\frac{1 + 118098x^4}{59049x}$