Номер 8.27, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.27. Докажите, что от $\text{n}$ не зависит значение выражения:

1) $\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$;

2) $\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$;

3) $\frac{0,2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0,04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $ \frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}} $ не зависит от $n$, упростим его, используя свойства степеней.

Представим основание $4$ как степень числа $2$: $4 = 2^2$. Тогда $4^{-n} = (2^2)^{-n} = 2^{-2n}$.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{2^{-2n} \cdot 3^{-1}} $

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \frac{2^{-2n}}{2^{-2n}} \cdot \frac{3^{-2}}{3^{-1}} = 2^{-2n - (-2n)} \cdot 3^{-2 - (-1)} = 2^{-2n+2n} \cdot 3^{-2+1} = 2^0 \cdot 3^{-1} $

Так как любое число в нулевой степени равно $1$ ($2^0=1$), получаем:

$ 1 \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} $

Полученный результат $ \frac{1}{3} $ является константой и не содержит переменную $n$. Таким образом, мы доказали, что значение выражения не зависит от $n$.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

2) Упростим выражение $ \frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}} $, чтобы доказать, что его значение не зависит от $n$.

Представим числа $125$ и $34$ через их простые множители:

$ 125 = 5^3 $, следовательно $ 125^{-n} = (5^3)^{-n} = 5^{-3n} $.

$ 34 = 2 \cdot 17 $, следовательно $ 34^{-2} = (2 \cdot 17)^{-2} = 2^{-2} \cdot 17^{-2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{5^{-3n} \cdot (2^{-2} \cdot 17^{-2})}{5^{-3n} \cdot 17^{-1}} = \frac{5^{-3n} \cdot 2^{-2} \cdot 17^{-2}}{5^{-3n} \cdot 17^{-1}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \frac{5^{-3n}}{5^{-3n}} \cdot 2^{-2} \cdot \frac{17^{-2}}{17^{-1}} = 5^{-3n - (-3n)} \cdot 2^{-2} \cdot 17^{-2 - (-1)} = 5^0 \cdot 2^{-2} \cdot 17^{-1} $

Учитывая, что $5^0 = 1$, получаем:

$ 1 \cdot \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{17^1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{17} = \frac{1}{68} $

Результат $ \frac{1}{68} $ не зависит от $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{1}{68} $.

3) Докажем, что значение выражения $ \frac{0,2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0,04^{-n} \cdot 13^{-1}} $ не зависит от $n$.

Для начала преобразуем десятичные дроби. Заметим, что $0,04 = 0,2^2$.

Используем это в знаменателе: $ 0,04^{-n} = (0,2^2)^{-n} = 0,2^{-2n} $.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$ \frac{0,2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0,2^{-2n} \cdot 13^{-1}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \frac{0,2^{-2n}}{0,2^{-2n}} \cdot \frac{13^{-2}}{13^{-1}} = 0,2^{-2n - (-2n)} \cdot 13^{-2 - (-1)} = 0,2^0 \cdot 13^{-1} $

Так как $0,2^0 = 1$, выражение упрощается до:

$ 1 \cdot 13^{-1} = \frac{1}{13} $

Значение выражения равно $ \frac{1}{13} $ и не зависит от $n$.

Ответ: $ \frac{1}{13} $.