Вопрос критерии успеха, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнять арифметические действия над числами, записанными в стан- дартном виде?

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а $n$ — порядком числа.

Для выполнения арифметических действий над числами, записанными в стандартном виде, существуют следующие правила:

Умножение и деление

При умножении или делении чисел в стандартном виде их мантиссы перемножаются или делятся, а порядки (показатели степени 10) складываются при умножении и вычитаются при делении.

Формула для умножения: $(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$.

Формула для деления: $(a \cdot 10^n) : (b \cdot 10^m) = (a : b) \cdot 10^{n-m}$.

После выполнения действия необходимо проверить, соответствует ли результат стандартному виду. Если мантисса результата окажется меньше 1 или больше либо равна 10, число нужно преобразовать.

Пример на умножение: Вычислить $(4,5 \cdot 10^3) \cdot (6 \cdot 10^5)$.

Решение:

1. Перемножаем мантиссы: $4,5 \cdot 6 = 27$.

2. Складываем порядки: $3 + 5 = 8$.

3. Получаем результат: $27 \cdot 10^8$.

4. Мантисса $27$ больше $10$, поэтому приводим число к стандартному виду:

$27 \cdot 10^8 = (2,7 \cdot 10^1) \cdot 10^8 = 2,7 \cdot 10^{1+8} = 2,7 \cdot 10^9$.

Ответ: $2,7 \cdot 10^9$.

Пример на деление: Вычислить $(7,2 \cdot 10^8) : (8 \cdot 10^3)$.

Решение:

1. Делим мантиссы: $7,2 : 8 = 0,9$.

2. Вычитаем порядки: $8 - 3 = 5$.

3. Получаем результат: $0,9 \cdot 10^5$.

4. Мантисса $0,9$ меньше $1$, поэтому приводим число к стандартному виду:

$0,9 \cdot 10^5 = (9 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^5 = 9 \cdot 10^{-1+5} = 9 \cdot 10^4$.

Ответ: $9 \cdot 10^4$.

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать числа в стандартном виде можно только тогда, когда их порядки (показатели степени 10) одинаковы. Если порядки разные, их необходимо предварительно уравнять.

Алгоритм действий:

1. Сравнить порядки чисел.

2. Преобразовать одно из чисел так, чтобы его порядок стал равен порядку другого числа (обычно приводят к большему порядку). Для этого мантиссу умножают или делят на степень 10.

3. Вынести общий множитель $10^n$ за скобки.

4. Сложить или вычесть мантиссы в скобках.

5. Привести полученный результат к стандартному виду, если это необходимо.

Пример на сложение: Вычислить $(5,3 \cdot 10^7) + (2,8 \cdot 10^6)$.

Решение:

1. Порядки чисел разные ($7$ и $6$). Приведем число с меньшим порядком к большему.

2. Преобразуем второе число: $2,8 \cdot 10^6 = (2,8 : 10) \cdot 10^{6+1} = 0,28 \cdot 10^7$.

3. Теперь можно выполнить сложение:

$(5,3 \cdot 10^7) + (0,28 \cdot 10^7) = (5,3 + 0,28) \cdot 10^7 = 5,58 \cdot 10^7$.

4. Результат $5,58 \cdot 10^7$ уже находится в стандартном виде, так как мантисса $5,58$ удовлетворяет условию $1 \le 5,58 < 10$.

Ответ: $5,58 \cdot 10^7$.

Пример на вычитание: Вычислить $(9,1 \cdot 10^{-4}) - (2 \cdot 10^{-5})$.

Решение:

1. Порядки чисел разные ($-4$ и $-5$). Приведем второе число к порядку $-4$.

2. Преобразуем второе число: $2 \cdot 10^{-5} = (2 : 10) \cdot 10^{-5+1} = 0,2 \cdot 10^{-4}$.

3. Выполним вычитание:

$(9,1 \cdot 10^{-4}) - (0,2 \cdot 10^{-4}) = (9,1 - 0,2) \cdot 10^{-4} = 8,9 \cdot 10^{-4}$.

4. Результат $8,9 \cdot 10^{-4}$ находится в стандартном виде.

Ответ: $8,9 \cdot 10^{-4}$.