Вопрос критерии успеха, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как найти приближенные значения величин и записать их в стандартном виде?

Как вычислить абсолютную и относительную погрешности приближенных значений величин?

Как найти приближенные значения величин и записать их в стандартном виде?

Приближенные значения величин обычно получают двумя способами: в результате измерений (которые всегда имеют некоторую погрешность) или путем округления точных или более сложных чисел (например, иррациональных чисел или бесконечных дробей).

Округление числа — это замена его на приближенное значение с меньшим количеством значащих цифр. Правила округления:

• Определяется разряд, до которого нужно округлить число.
• Если первая цифра справа от этого разряда (первая отбрасываемая цифра) равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя сохраняемая цифра не изменяется.
• Если первая отбрасываемая цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример: Пусть есть число $\pi \approx 3.14159265$. Округлим его до тысячных (до 3 знаков после запятой).

Сохраняемые цифры: 3.141. Первая отбрасываемая цифра — 5. Согласно правилу, последнюю сохраняемую цифру (1) нужно увеличить на единицу. Получаем: $\pi \approx 3.142$.

Стандартный вид числа — это его представление в виде произведения $a \times 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а $n$ — целое число, которое называется порядком числа. Такая запись особенно удобна для очень больших и очень маленьких чисел.

Чтобы записать число в стандартном виде:

1. Записать число $a$ (называемое мантиссой), поставив десятичную запятую после первой ненулевой цифры исходного числа.
2. Определить порядок $n$. Он равен количеству разрядов, на которое сместилась запятая. Если запятая смещалась влево (для чисел, больших 10), то $n$ будет положительным. Если запятая смещалась вправо (для чисел, меньших 1), то $n$ будет отрицательным.

Пример 1: Масса Земли примерно равна 5 972 000 000 000 000 000 000 000 кг.

1. Мантисса: 5.972.

2. Чтобы получить 5.972 из исходного числа, мы сместили запятую на 24 разряда влево. Значит, $n=24$.

3. Стандартный вид: $5.972 \times 10^{24}$ кг.

Пример 2: Диаметр атома водорода равен 0.000000000106 м.

1. Мантисса: 1.06.

2. Чтобы получить 1.06, мы сместили запятую на 10 разрядов вправо. Значит, $n=-10$.

3. Стандартный вид: $1.06 \times 10^{-10}$ м.

Ответ: Приближенное значение величины находят путем ее измерения или округления. Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \times 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а $n$ — целое число.

Как вычислить абсолютную и относительную погрешности приближенных значений величин?

Пусть $x$ — это точное значение некоторой величины, а $a$ — её приближенное значение.

Абсолютная погрешность (или абсолютная ошибка) — это модуль разности между точным и приближенным значениями. Она показывает величину отклонения, но не его значимость.

Абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле:

$\Delta = |x - a|$

Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Пример: Точное значение числа $e$ равно $2.71828...$. Возьмем его приближенное значение $a = 2.72$.

Абсолютная погрешность будет равна:

$\Delta = |2.71828... - 2.72| \approx |-0.00172| = 0.00172$

Относительная погрешность (или относительная ошибка) — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения. Она позволяет оценить качество приближения или измерения, так как показывает, какую долю от самого значения составляет ошибка. Относительная погрешность является безразмерной величиной и часто выражается в процентах.

Относительная погрешность $\epsilon$ вычисляется по формуле:

$\epsilon = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{|x - a|}{|x|}$

На практике точное значение $x$ часто бывает неизвестно. В таких случаях для оценки относительной погрешности ее относят к модулю приближенного значения $a$ (если погрешность мала):

$\epsilon \approx \frac{\Delta}{|a|}$

Чтобы выразить относительную погрешность в процентах, полученное значение умножают на 100%.

Пример (продолжение): Вычислим относительную погрешность для приближения числа $e$.

Используем точное значение в знаменателе:

$\epsilon = \frac{0.00172...}{2.71828...} \approx 0.000632$

Выразим в процентах:

$\epsilon \approx 0.000632 \times 100\% = 0.0632\%$

Ответ: Абсолютная погрешность — это модуль разности точного и приближенного значений: $\Delta = |x - a|$. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения (или приближенного, если точное неизвестно): $\epsilon = \frac{\Delta}{|x|}$.