Номер 5.15, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.15. Докажите тождество:

1) $(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{5})^9 \cdot (\frac{5}{2})^{10} = 3,75;$

2) $(4 \cdot 7)^{10} \cdot (\frac{3}{4})^{10} : (7^5 \cdot 3^4)^2 = 9.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойством степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{5})^9 \cdot (\frac{5}{2})^{10} = \frac{2^8}{3^8} \cdot \frac{3^9}{5^9} \cdot \frac{5^{10}}{2^{10}}$

Сгруппируем множители в числителе и знаменателе, а затем сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^8 \cdot 3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^9 \cdot 2^{10}} = \frac{2^8}{2^{10}} \cdot \frac{3^9}{3^8} \cdot \frac{5^{10}}{5^9}$

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{8-10} \cdot 3^{9-8} \cdot 5^{10-9} = 2^{-2} \cdot 3^1 \cdot 5^1$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и выполнив вычисления, получим:

$\frac{1}{2^2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{1}{4} \cdot 15 = \frac{15}{4} = 3,75$

Левая часть равна правой ($3,75 = 3,75$), тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства степеней.

Применим свойство степени произведения $(ab)^n=a^nb^n$, степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(4 \cdot 7)^{10} \cdot (\frac{3}{4})^{10} : (7^5 \cdot 3^4)^2 = (4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^{10} \cdot 3^8)$

Выполним умножение, сократив $4^{10}$:

$\frac{4^{10} \cdot 7^{10} \cdot 3^{10}}{4^{10}} : (7^{10} \cdot 3^8) = (7^{10} \cdot 3^{10}) : (7^{10} \cdot 3^8)$

Теперь выполним деление. Представим его в виде дроби:

$\frac{7^{10} \cdot 3^{10}}{7^{10} \cdot 3^8}$

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{10-10} \cdot 3^{10-8} = 7^0 \cdot 3^2$

Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице ($a^0=1$), получаем:

$1 \cdot 3^2 = 1 \cdot 9 = 9$

Левая часть равна правой ($9=9$), тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.