Номер 5.10, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.10. Вычислите:

1) $ \frac{7^{12} \cdot (7^4)^2}{(7^5)^4} $;

2) $ \frac{3^2 \cdot (3^3)^2}{81^2} $;

3) $ \frac{5^5 \cdot (5^3)^4}{5^{13}} $;

4) $ \frac{(2^8)^3 \cdot 2^6}{2^{22}} $;

5) $ \frac{(3^5)^2}{3^6 \cdot 9} $;

6) $ \frac{4^9 \cdot 6^4}{(4^4)^3} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{7^{12} \cdot (7^4)^2}{(7^5)^4} $. Сначала упростим числитель и знаменатель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В числителе: $(7^4)^2 = 7^{4 \cdot 2} = 7^8$.

В знаменателе: $(7^5)^4 = 7^{5 \cdot 4} = 7^{20}$.

Подставим эти значения обратно в дробь: $ \frac{7^{12} \cdot 7^8}{7^{20}} $.

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$ 7^{12} \cdot 7^8 = 7^{12+8} = 7^{20} $.

Дробь принимает вид: $ \frac{7^{20}}{7^{20}} $.

Используя свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем: $ 7^{20-20} = 7^0 = 1 $.

Ответ: $1$.

2) Исходное выражение: $ \frac{3^2 \cdot (3^3)^2}{81^2} $.

Упростим числитель. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.

Затем используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^2 \cdot 3^6 = 3^{2+6} = 3^8$.

Упростим знаменатель. Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

Тогда $81^2 = (3^4)^2$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{3^8}{3^8} = 1 $.

Ответ: $1$.

3) Исходное выражение: $ \frac{5^5 \cdot (5^3)^4}{5^{13}} $.

Упростим числитель. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(5^3)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12}$.

Затем используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^5 \cdot 5^{12} = 5^{5+12} = 5^{17}$.

Дробь принимает вид: $ \frac{5^{17}}{5^{13}} $.

Используем свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{5^{17}}{5^{13}} = 5^{17-13} = 5^4 $.

Вычислим значение $5^4$: $ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 $.

Ответ: $625$.

4) Исходное выражение: $ \frac{(2^8)^3 \cdot 2^6}{2^{22}} $.

Упростим числитель. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(2^8)^3 = 2^{8 \cdot 3} = 2^{24}$.

Затем используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $2^{24} \cdot 2^6 = 2^{24+6} = 2^{30}$.

Дробь принимает вид: $ \frac{2^{30}}{2^{22}} $.

Используем свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{2^{30}}{2^{22}} = 2^{30-22} = 2^8 $.

Вычислим значение $2^8$: $2^8 = 256$.

Ответ: $256$.

5) Исходное выражение: $ \frac{(3^5)^2}{3^6 \cdot 9} $.

Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10}$.

Упростим знаменатель. Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Знаменатель становится $3^6 \cdot 3^2$. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^6 \cdot 3^2 = 3^{6+2} = 3^8$.

Дробь принимает вид: $ \frac{3^{10}}{3^8} $.

Используем свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8} = 3^2 $.

Вычислим значение $3^2$: $3^2 = 9$.

Ответ: $9$.

6) Исходное выражение: $ \frac{4^9 \cdot 6^4}{(4^4)^3} $.

Упростим знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(4^4)^3 = 4^{4 \cdot 3} = 4^{12}$.

Дробь принимает вид: $ \frac{4^9 \cdot 6^4}{4^{12}} $.

Применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ к основанию 4:

$ \frac{4^9}{4^{12}} \cdot 6^4 = 4^{9-12} \cdot 6^4 = 4^{-3} \cdot 6^4 $.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $ \frac{6^4}{4^3} $.

Чтобы упростить, представим основания 4 и 6 через простые множители: $4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.

$ \frac{(2 \cdot 3)^4}{(2^2)^3} = \frac{2^4 \cdot 3^4}{2^{6}} = 2^{4-6} \cdot 3^4 = 2^{-2} \cdot 3^4 = \frac{3^4}{2^2} $.

Вычислим значение: $ \frac{81}{4} $.

Ответ: $ \frac{81}{4} $.