Номер 5.14, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.14. Докажите, что значение выражения равно нулю:

1) $ ((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2; $

2) $ (x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15}. $

1) Чтобы доказать, что значение выражения $((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2$ равно нулю, упростим его, используя свойства степеней.

Для начала раскроем скобки, применяя правило возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$ и правило возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$:

$((a^2)^3)^5 = a^{2 \cdot 3 \cdot 5} = a^{30}$

$(a^{15}b)^2 = (a^{15})^2 \cdot b^2 = a^{15 \cdot 2} \cdot b^2 = a^{30}b^2$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$a^{30} \cdot a^{30}b^2 : a^{60} - b^2$

Выполним умножение, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^{30+30}b^2 : a^{60} - b^2 = a^{60}b^2 : a^{60} - b^2$

Выполним деление, используя правило деления степеней ($x^m : x^n = x^{m-n}$):

$a^{60-60}b^2 - b^2 = a^0b^2 - b^2$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$), получаем:

$1 \cdot b^2 - b^2 = b^2 - b^2 = 0$

Таким образом, значение выражения равно 0, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $(x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15}$ равно нулю, упростим его по аналогии с предыдущим примером.

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$(x^5y)^3 = (x^5)^3 \cdot y^3 = x^{5 \cdot 3} y^3 = x^{15}y^3$

$((y^4)^3)^4 = y^{4 \cdot 3 \cdot 4} = y^{48}$

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$x^{15}y^3 \cdot y^{48} : y^{51} - x^{15}$

Выполним умножение степеней с одинаковым основанием $y$:

$x^{15} y^{3+48} : y^{51} - x^{15} = x^{15}y^{51} : y^{51} - x^{15}$

Теперь выполним деление:

$x^{15} \cdot (y^{51} : y^{51}) - x^{15} = x^{15} \cdot y^{51-51} - x^{15} = x^{15} \cdot y^0 - x^{15}$

Учитывая, что $y^0 = 1$, получаем:

$x^{15} \cdot 1 - x^{15} = x^{15} - x^{15} = 0$

Таким образом, значение выражения равно 0, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.