Номер 5.12, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.12. Упростите выражение:

1) $(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2;$

2) $(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3;$

3) $(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4;$

4) $(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3.$

1)Чтобы упростить выражение $(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2$, представим его в виде дроби и воспользуемся свойством степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{(4^k 3^n)^2}{(4^{k-1} 3^{n-1})^2} = \left(\frac{4^k 3^n}{4^{k-1} 3^{n-1}}\right)^2$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\left(\frac{4^k}{4^{k-1}} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}}\right)^2$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{4^k}{4^{k-1}} = 4^{k-(k-1)} = 4^{k-k+1} = 4^1 = 4$

$\frac{3^n}{3^{n-1}} = 3^{n-(n-1)} = 3^{n-n+1} = 3^1 = 3$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(4 \cdot 3)^2 = 12^2 = 144$.

Ответ: $144$.

2)Упростим выражение $(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3$. По аналогии с предыдущим примером, запишем выражение в виде степени частного:

$\left(\frac{7^m 9^n}{7^{m-2} 9^n}\right)^3 = \left(\frac{7^m}{7^{m-2}} \cdot \frac{9^n}{9^n}\right)^3$

Упростим дроби внутри скобок, используя правило деления степеней:

$\frac{7^m}{7^{m-2}} = 7^{m-(m-2)} = 7^{m-m+2} = 7^2 = 49$

$\frac{9^n}{9^n} = 9^{n-n} = 9^0 = 1$

Подставим результаты и вычислим:

$(49 \cdot 1)^3 = 49^3 = 117649$.

Ответ: $117649$.

3)Упростим выражение $(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4$. Применим тот же метод:

$\left(\frac{11^k 5^t}{11^k 5^{t-1}}\right)^4 = \left(\frac{11^k}{11^k} \cdot \frac{5^t}{5^{t-1}}\right)^4$

Упрощаем дроби:

$\frac{11^k}{11^k} = 11^{k-k} = 11^0 = 1$

$\frac{5^t}{5^{t-1}} = 5^{t-(t-1)} = 5^{t-t+1} = 5^1 = 5$

Подставляем полученные значения и вычисляем:

$(1 \cdot 5)^4 = 5^4 = 625$.

Ответ: $625$.

4)Упростим выражение $(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3$. Действуем аналогично предыдущим пунктам:

$\left(\frac{13^m 6^k}{13^m 6^{k-1}}\right)^3 = \left(\frac{13^m}{13^m} \cdot \frac{6^k}{6^{k-1}}\right)^3$

Упрощаем дроби:

$\frac{13^m}{13^m} = 13^{m-m} = 13^0 = 1$

$\frac{6^k}{6^{k-1}} = 6^{k-(k-1)} = 6^{k-k+1} = 6^1 = 6$

Подставляем и вычисляем:

$(1 \cdot 6)^3 = 6^3 = 216$.

Ответ: $216$.