Номер 5.8, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.8. Докажите тождество:

1) $(\frac{2}{3})^5 \cdot (2^5)^3 \cdot 3^7 : (2^{10} \cdot 3)^2 = 1;$

2) $(7^2)^8 \cdot (6^3)^4 : (7^4 \cdot 6^3)^4 = 1;$

3) $(\frac{4}{5})^6 \cdot (4^3)^3 \cdot 5^8 : (4^7 \cdot 5)^2 = 4;$

4) $(9^4 \cdot 8^3)^5 : (9^{10})^2 : (8^2)^7 = 8.$

1) Докажем тождество $(\frac{2}{3})^5 \cdot (2^5)^3 \cdot 3^7 : (2^{10} \cdot 3)^2 = 1$, упростив его левую часть. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Раскроем скобки в каждом множителе и делителе:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5}$

$(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$

$(2^{10} \cdot 3)^2 = (2^{10})^2 \cdot 3^2 = 2^{20} \cdot 3^2$

2. Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$\frac{2^5}{3^5} \cdot 2^{15} \cdot 3^7 : (2^{20} \cdot 3^2)$

3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Заменим деление на дробную черту:

$\frac{\frac{2^5}{3^5} \cdot 2^{15} \cdot 3^7}{2^{20} \cdot 3^2} = \frac{2^5 \cdot 2^{15} \cdot 3^7}{3^5 \cdot 2^{20} \cdot 3^2} = \frac{2^{5+15} \cdot 3^7}{3^{5+2} \cdot 2^{20}} = \frac{2^{20} \cdot 3^7}{3^7 \cdot 2^{20}}$

4. Сократим дробь:

$\frac{2^{20}}{2^{20}} \cdot \frac{3^7}{3^7} = 1 \cdot 1 = 1$

Левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: 1

2) Докажем тождество $(7^2)^8 \cdot (6^3)^4 : (7^4 \cdot 6^3)^4 = 1$, упростив его левую часть. Применим свойства степеней.

1. Раскроем скобки:

$(7^2)^8 = 7^{2 \cdot 8} = 7^{16}$

$(6^3)^4 = 6^{3 \cdot 4} = 6^{12}$

$(7^4 \cdot 6^3)^4 = (7^4)^4 \cdot (6^3)^4 = 7^{4 \cdot 4} \cdot 6^{3 \cdot 4} = 7^{16} \cdot 6^{12}$

2. Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$7^{16} \cdot 6^{12} : (7^{16} \cdot 6^{12})$

3. Видно, что выражение делится само на себя. Результат такого деления равен 1.

$7^{16} \cdot 6^{12} : (7^{16} \cdot 6^{12}) = \frac{7^{16} \cdot 6^{12}}{7^{16} \cdot 6^{12}} = 1$

Левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: 1

3) Докажем тождество $(\frac{4}{5})^6 \cdot (4^3)^3 \cdot 5^8 : (4^7 \cdot 5)^2 = 4$, упростив его левую часть.

1. Упростим каждый член выражения, используя свойства степеней:

$(\frac{4}{5})^6 = \frac{4^6}{5^6}$

$(4^3)^3 = 4^{3 \cdot 3} = 4^9$

$(4^7 \cdot 5)^2 = (4^7)^2 \cdot 5^2 = 4^{14} \cdot 5^2$

2. Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$\frac{4^6}{5^6} \cdot 4^9 \cdot 5^8 : (4^{14} \cdot 5^2)$

3. Перепишем выражение, используя дробную черту для деления, и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{\frac{4^6}{5^6} \cdot 4^9 \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^2} = \frac{4^6 \cdot 4^9 \cdot 5^8}{5^6 \cdot 4^{14} \cdot 5^2} = \frac{4^{6+9} \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^{6+2}} = \frac{4^{15} \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^8}$

4. Сократим дробь, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$4^{15-14} \cdot 5^{8-8} = 4^1 \cdot 5^0 = 4 \cdot 1 = 4$

Левая часть тождества равна 4, что и требовалось доказать.

Ответ: 4

4) Докажем тождество $(9^4 \cdot 8^3)^5 : (9^{10})^2 : (8^2)^7 = 8$. Помним, что операции деления выполняются последовательно слева направо.

1. Упростим каждый член выражения:

$(9^4 \cdot 8^3)^5 = (9^4)^5 \cdot (8^3)^5 = 9^{20} \cdot 8^{15}$

$(9^{10})^2 = 9^{20}$

$(8^2)^7 = 8^{14}$

2. Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$(9^{20} \cdot 8^{15}) : 9^{20} : 8^{14}$

3. Выполним первое деление:

$(9^{20} \cdot 8^{15}) : 9^{20} = \frac{9^{20} \cdot 8^{15}}{9^{20}} = 9^{20-20} \cdot 8^{15} = 9^0 \cdot 8^{15} = 1 \cdot 8^{15} = 8^{15}$

4. Выполним второе деление:

$8^{15} : 8^{14} = 8^{15-14} = 8^1 = 8$

Альтернативно, можно записать все выражение в виде одной дроби, учитывая, что $a:b:c = \frac{a}{b \cdot c}$:

$\frac{(9^4 \cdot 8^3)^5}{(9^{10})^2 \cdot (8^2)^7} = \frac{9^{20} \cdot 8^{15}}{9^{20} \cdot 8^{14}} = 9^{20-20} \cdot 8^{15-14} = 9^0 \cdot 8^1 = 1 \cdot 8 = 8$

Левая часть тождества равна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: 8