Номер 5.13, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.13. Вычислите:

1) $(100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33});$

2) $(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2;$

3) $\left( \left( \frac{3}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^6 \right)^{10} : \left( \left( \frac{4}{5} \right)^{12} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^6 \right)^5;$

4) $\left( \left( \frac{5}{6} \right)^7 \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^3 \right)^8 : \left( \left( \frac{6}{7} \right)^{11} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{27} \right)^2.$

1) $(100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Для решения применим свойства степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ (возведение произведения в степень) и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (возведение степени в степень).

Сначала раскроем скобки в первых двух множителях:

$(100^{10} \cdot 9^3)^7 = (100^{10})^7 \cdot (9^3)^7 = 100^{10 \cdot 7} \cdot 9^{3 \cdot 7} = 100^{70} \cdot 9^{21}$

$(100^{20} \cdot 9^6)^2 = (100^{20})^2 \cdot (9^6)^2 = 100^{20 \cdot 2} \cdot 9^{6 \cdot 2} = 100^{40} \cdot 9^{12}$

Подставим полученные выражения в исходный пример:

$(100^{70} \cdot 9^{21}) \cdot (100^{40} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(100^{70} \cdot 100^{40}) \cdot (9^{21} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33}) = 100^{70+40} \cdot 9^{21+12} : (100^{109} \cdot 9^{33}) = 100^{110} \cdot 9^{33} : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Теперь выполним деление, используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$(100^{110} : 100^{109}) \cdot (9^{33} : 9^{33}) = 100^{110-109} \cdot 9^{33-33} = 100^1 \cdot 9^0$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$), получаем:

$100 \cdot 1 = 100$

Ответ: 100.

2) $(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2$

Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере.

Раскроем скобки:

$(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 = 0,15^{16 \cdot 5} \cdot 3^{7 \cdot 5} = 0,15^{80} \cdot 3^{35}$

$(3^3 \cdot 0,15^{10})^3 = 3^{3 \cdot 3} \cdot 0,15^{10 \cdot 3} = 3^9 \cdot 0,15^{30}$

$(3^{20} \cdot 0,15^{55})^2 = 3^{20 \cdot 2} \cdot 0,15^{55 \cdot 2} = 3^{40} \cdot 0,15^{110}$

Подставим в исходное выражение:

$(0,15^{80} \cdot 3^{35}) \cdot (3^9 \cdot 0,15^{30}) : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

Сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

$(0,15^{80} \cdot 0,15^{30}) \cdot (3^{35} \cdot 3^9) : (3^{40} \cdot 0,15^{110}) = 0,15^{80+30} \cdot 3^{35+9} : (3^{40} \cdot 0,15^{110}) = 0,15^{110} \cdot 3^{44} : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

Выполним деление:

$(0,15^{110} : 0,15^{110}) \cdot (3^{44} : 3^{40}) = 0,15^{110-110} \cdot 3^{44-40} = 0,15^0 \cdot 3^4$

Учитывая, что $0,15^0 = 1$, получаем:

$1 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81$

Ответ: 81.

3) $\left( \left( \frac{3}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^6 \right)^{10} : \left( \left( \frac{4}{5} \right)^{12} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^6 \right)^5$

Сначала раскроем скобки, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Для делимого:

$\left( \left( \frac{3}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^6 \right)^{10} = \left( \frac{3}{4} \right)^{3 \cdot 10} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{6 \cdot 10} = \left( \frac{3}{4} \right)^{30} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{60}$

Для делителя:

$\left( \left( \frac{4}{5} \right)^{12} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^6 \right)^5 = \left( \frac{4}{5} \right)^{12 \cdot 5} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{6 \cdot 5} = \left( \frac{4}{5} \right)^{60} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{30}$

Теперь выполним деление:

$\left( \left( \frac{3}{4} \right)^{30} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{60} \right) : \left( \left( \frac{4}{5} \right)^{60} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{30} \right)$

Мы видим, что делимое и делитель равны. Деление любого ненулевого числа на само себя даёт 1.

Можно также применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

$\left( \left( \frac{3}{4} \right)^{30} : \left( \frac{3}{4} \right)^{30} \right) \cdot \left( \left( \frac{4}{5} \right)^{60} : \left( \frac{4}{5} \right)^{60} \right) = \left( \frac{3}{4} \right)^{30-30} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{60-60} = \left( \frac{3}{4} \right)^0 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^0$

$1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1.

4) $\left( \left( \frac{5}{6} \right)^7 \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^3 \right)^8 : \left( \left( \frac{6}{7} \right)^{11} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{27} \right)^2$

Раскроем скобки, используя те же свойства степеней.

Делимое:

$\left( \left( \frac{5}{6} \right)^7 \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^3 \right)^8 = \left( \frac{5}{6} \right)^{7 \cdot 8} \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^{3 \cdot 8} = \left( \frac{5}{6} \right)^{56} \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^{24}$

Делитель:

$\left( \left( \frac{6}{7} \right)^{11} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{27} \right)^2 = \left( \frac{6}{7} \right)^{11 \cdot 2} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{27 \cdot 2} = \left( \frac{6}{7} \right)^{22} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{54}$

Выполним деление, представив его в виде дроби и сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{\left( \frac{5}{6} \right)^{56} \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^{24}}{\left( \frac{5}{6} \right)^{54} \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^{22}} = \frac{\left( \frac{5}{6} \right)^{56}}{\left( \frac{5}{6} \right)^{54}} \cdot \frac{\left( \frac{6}{7} \right)^{24}}{\left( \frac{6}{7} \right)^{22}} = \left( \frac{5}{6} \right)^{56-54} \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^{24-22} = \left( \frac{5}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{6}{7} \right)^2$

Теперь используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$\left( \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \right)^2 = \left( \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 7} \right)^2$

Сократим дробь:

$\left( \frac{5}{7} \right)^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49}$

Ответ: $\frac{25}{49}$.