Номер 5.18, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.18. Представьте последовательность из дробей в виде последова-тельности из степеней:

1) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{81}$; $...$

2) $\frac{2}{7}$; $\frac{4}{49}$; $\frac{8}{343}$; $\frac{16}{2401}$; $...$

1) Чтобы представить последовательность дробей $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots$ в виде последовательности степеней, необходимо найти общее основание и соответствующий ему показатель для каждого члена последовательности.

Рассмотрим знаменатели дробей: $3, 9, 27, 81$. Мы видим, что это последовательные степени числа 3:

$3 = 3^1$

$9 = 3^2$

$27 = 3^3$

$81 = 3^4$

Теперь перепишем каждый член последовательности, используя степени числа 3 в знаменателе:

Первый член: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1}$. Используя свойство степени $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, а также то, что $1 = 1^n$ для любого $n$, получаем: $\frac{1^1}{3^1} = (\frac{1}{3})^1$.

Второй член: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Третий член: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Четвертый член: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.

Таким образом, исходная последовательность дробей может быть представлена как последовательность степеней с основанием $\frac{1}{3}$ и показателями, увеличивающимися на 1, начиная с 1.

Ответ: $(\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4, \dots$

2) Чтобы представить последовательность дробей $\frac{2}{7}, \frac{4}{49}, \frac{8}{343}, \frac{16}{2401}, \dots$ в виде последовательности степеней, проанализируем числители и знаменатели дробей по отдельности.

Последовательность числителей: $2, 4, 8, 16, \dots$. Это степени числа 2:

$2 = 2^1$

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Последовательность знаменателей: $7, 49, 343, 2401, \dots$. Это степени числа 7:

$7 = 7^1$

$49 = 7^2$

$343 = 7^3$

$2401 = 7^4$

Теперь представим каждую дробь в виде отношения степеней, а затем воспользуемся свойством степени $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

Первый член: $\frac{2}{7} = \frac{2^1}{7^1} = (\frac{2}{7})^1$.

Второй член: $\frac{4}{49} = \frac{2^2}{7^2} = (\frac{2}{7})^2$.

Третий член: $\frac{8}{343} = \frac{2^3}{7^3} = (\frac{2}{7})^3$.

Четвертый член: $\frac{16}{2401} = \frac{2^4}{7^4} = (\frac{2}{7})^4$.

Следовательно, исходная последовательность дробей является последовательностью степеней с основанием $\frac{2}{7}$ и последовательными натуральными показателями, начиная с 1.

Ответ: $(\frac{2}{7})^1, (\frac{2}{7})^2, (\frac{2}{7})^3, (\frac{2}{7})^4, \dots$