Номер 4.14, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.14. Докажите тождество:

1) $\left(a^{2k}\right)^5 : \left(2a^{3k}\right) - 1.5a^{7k} = -a^{7k};$

2) $\left(y^{2n}\right)^6 : \left(5y^{5n}\right)^2 + 0.96y^{2n} = y^{2n}.$

1) Чтобы доказать тождество $(a^{2k})^5 : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k} = -a^{7k}$, преобразуем его левую часть, используя свойства степеней.

1. Возведем степень в степень, используя формулу $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{2k})^5 = a^{2k \cdot 5} = a^{10k}$.

2. Выполним деление. Знак ":" обозначает деление. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^{10k} : (2a^{3k}) = \frac{a^{10k}}{2a^{3k}} = \frac{1}{2} \cdot a^{10k-3k} = \frac{1}{2}a^{7k}$.

3. Переведем коэффициент в десятичную дробь и подставим результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2}a^{7k} - 1,5a^{7k} = 0,5a^{7k} - 1,5a^{7k}$.

4. Приведем подобные слагаемые:

$(0,5 - 1,5)a^{7k} = -1 \cdot a^{7k} = -a^{7k}$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-a^{7k} = -a^{7k}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(y^{2n})^6 : (5y^{5n})^2 + 0,96y^{2n} = y^{2n}$, преобразуем его левую часть.

1. Упростим делимое и делитель, используя свойства степеней: $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n = x^ny^n$.

Делимое: $(y^{2n})^6 = y^{2n \cdot 6} = y^{12n}$.

Делитель: $(5y^{5n})^2 = 5^2 \cdot (y^{5n})^2 = 25 \cdot y^{5n \cdot 2} = 25y^{10n}$.

2. Выполним деление, используя свойство $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$y^{12n} : (25y^{10n}) = \frac{y^{12n}}{25y^{10n}} = \frac{1}{25}y^{12n-10n} = \frac{1}{25}y^{2n}$.

3. Подставим полученное выражение обратно и выполним сложение. Для удобства переведем дробь $\frac{1}{25}$ в десятичную: $\frac{1}{25} = 0,04$.

$0,04y^{2n} + 0,96y^{2n}$.

4. Сложим подобные слагаемые:

$(0,04 + 0,96)y^{2n} = 1 \cdot y^{2n} = y^{2n}$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $y^{2n} = y^{2n}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.