Номер 12.21, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.21. Докажите тождество:

1) $(-9k^{4}t^{2} + 11k^{3}t) - (19k^{3}t - 8k^{4}t^{2}) + (10k^{4}t^{2} + 8k^{3}t) = 9k^{4}t^{2};$

2) $(5n^{3}m^{2} - n^{3}m^{3}) - (7n^{3}m^{3} + 10n^{3}m^{2}) + (6n^{3}m^{2} + 8n^{3}m^{3}) = n^{3}m^{2}.$

1) Чтобы доказать тождество, мы упростим левую часть выражения и покажем, что она равна правой части. Начнем с раскрытия скобок. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные.

$(-9k^4t^2 + 11k^3t) - (19k^3t - 8k^4t^2) + (10k^4t^2 + 8k^3t) = -9k^4t^2 + 11k^3t - 19k^3t + 8k^4t^2 + 10k^4t^2 + 8k^3t$.

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это слагаемые с $k^4t^2$ и слагаемые с $k^3t$.

$(-9k^4t^2 + 8k^4t^2 + 10k^4t^2) + (11k^3t - 19k^3t + 8k^3t)$.

Сложим коэффициенты у подобных слагаемых:

$(-9 + 8 + 10)k^4t^2 + (11 - 19 + 8)k^3t = 9k^4t^2 + 0 \cdot k^3t = 9k^4t^2$.

Левая часть выражения после упрощения равна $9k^4t^2$, что в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Аналогично первому пункту, докажем второе тождество, упростив его левую часть. Раскроем скобки.

$(5n^3m^2 - n^3m^3) - (7n^3m^3 + 10n^3m^2) + (6n^3m^2 + 8n^3m^3) = 5n^3m^2 - n^3m^3 - 7n^3m^3 - 10n^3m^2 + 6n^3m^2 + 8n^3m^3$.

Сгруппируем подобные слагаемые: отдельно с $n^3m^2$ и отдельно с $n^3m^3$.

$(5n^3m^2 - 10n^3m^2 + 6n^3m^2) + (-n^3m^3 - 7n^3m^3 + 8n^3m^3)$.

Приведем подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами:

$(5 - 10 + 6)n^3m^2 + (-1 - 7 + 8)n^3m^3 = 1 \cdot n^3m^2 + 0 \cdot n^3m^3 = n^3m^2$.

В результате упрощения левая часть выражения стала равна $n^3m^2$, что соответствует правой части равенства. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.