Проанализируй и ответь, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнять умножение многочлена на одночлен, многочлена на многочлен?

Для выполнения умножения многочленов используются правила, основанные на распределительном законе умножения.

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить (алгебраически, то есть с учетом их знаков). Это правило можно выразить формулой: $a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$.

Порядок действий:

1. Умножить одночлен на первый член многочлена.
2. Умножить одночлен на второй член многочлена.
3. Продолжать так для всех членов многочлена.
4. Записать полученные произведения в виде многочлена.

Пример: Умножить одночлен $5x^2$ на многочлен $(2x^3 - 4xy + 3)$.

$5x^2 \cdot (2x^3 - 4xy + 3)$

1. Умножаем $5x^2$ на $2x^3$: $5x^2 \cdot 2x^3 = (5 \cdot 2) \cdot (x^2 \cdot x^3) = 10x^{2+3} = 10x^5$.

2. Умножаем $5x^2$ на $-4xy$: $5x^2 \cdot (-4xy) = (5 \cdot -4) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = -20x^{2+1}y = -20x^3y$.

3. Умножаем $5x^2$ на $3$: $5x^2 \cdot 3 = (5 \cdot 3) \cdot x^2 = 15x^2$.

4. Складываем результаты: $10x^5 + (-20x^3y) + 15x^2 = 10x^5 - 20x^3y + 15x^2$.

Ответ: $10x^5 - 20x^3y + 15x^2$.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. После этого, как правило, нужно привести подобные слагаемые. Формула для простейшего случая: $(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$.

Порядок действий:

1. Взять первый член первого многочлена и умножить его на каждый член второго многочлена.
2. Взять второй член первого многочлена и умножить его на каждый член второго многочлена.
3. Продолжать так для всех членов первого многочлена.
4. Сложить все полученные произведения.
5. Привести подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью).

Пример: Умножить многочлен $(x - 3)$ на многочлен $(x^2 + 2x - 4)$.

$(x - 3) \cdot (x^2 + 2x - 4)$

1. Умножаем $x$ из первого многочлена на весь второй многочлен:

$x \cdot (x^2 + 2x - 4) = x \cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot (-4) = x^3 + 2x^2 - 4x$.

2. Умножаем $-3$ из первого многочлена на весь второй многочлен:

$-3 \cdot (x^2 + 2x - 4) = (-3) \cdot x^2 + (-3) \cdot 2x + (-3) \cdot (-4) = -3x^2 - 6x + 12$.

3. Складываем полученные результаты:

$(x^3 + 2x^2 - 4x) + (-3x^2 - 6x + 12) = x^3 + 2x^2 - 4x - 3x^2 - 6x + 12$.

4. Приводим подобные слагаемые:

$x^3 + (2x^2 - 3x^2) + (-4x - 6x) + 12 = x^3 - x^2 - 10x + 12$.

Ответ: $x^3 - x^2 - 10x + 12$.