Номер 15.12, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (15.12-15.13):

15.12.

1) $(7x - 5)x = 1,5 - 2,1x;$

2) $(1 - 8x)x = 11,2x - 1,4;$

3) $\left(1,7x - \frac{1}{3}\right)x = \frac{1}{2}\left(3 - 15,3x\right);$

4) $\left(\frac{x}{7} - 1 \frac{6}{7}\right)x = \frac{1}{35}\left(3,9 - 0,3x\right).$

1) Исходное уравнение: $(7x - 5)x = 1,5 - 2,1x$.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $7x \cdot x - 5 \cdot x = 7x^2 - 5x$.

Уравнение принимает вид: $7x^2 - 5x = 1,5 - 2,1x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 - 5x + 2,1x - 1,5 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$7x^2 - 2,9x - 1,5 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$70x^2 - 29x - 15 = 0$.

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 70 \cdot (-15) = 841 + 4200 = 5041$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5041} = 71$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-29) + 71}{2 \cdot 70} = \frac{29 + 71}{140} = \frac{100}{140} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.

$x_2 = \frac{-(-29) - 71}{2 \cdot 70} = \frac{29 - 71}{140} = \frac{-42}{140} = -\frac{3}{10} = -0,3$.

Ответ: $-0,3; \frac{5}{7}$.

2) Исходное уравнение: $(1 - 8x)x = 11,2x - 1,4$.

Раскроем скобки в левой части: $x - 8x^2 = 11,2x - 1,4$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 8x^2 + 11,2x - x - 1,4$.

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 + 10,2x - 1,4 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$80x^2 + 102x - 14 = 0$.

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$40x^2 + 51x - 7 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 51^2 - 4 \cdot 40 \cdot (-7) = 2601 + 1120 = 3721$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-51 + 61}{2 \cdot 40} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8} = 0,125$.

$x_2 = \frac{-51 - 61}{2 \cdot 40} = \frac{-112}{80} = -\frac{112:16}{80:16} = -\frac{7}{5} = -1,4$.

Ответ: $-1,4; 0,125$.

3) Исходное уравнение: $(1,7x - \frac{1}{3})x = \frac{1}{2}(3 - 15,3x)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$1,7x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 15,3x$.

$1,7x^2 - \frac{1}{3}x = 1,5 - 7,65x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$1,7x^2 - \frac{1}{3}x + 7,65x - 1,5 = 0$.

Чтобы избавиться от дробей и десятичных знаков, умножим все уравнение на 60 (НОК для знаменателей 10, 3, 2, 100):

$60 \cdot 1,7x^2 - 60 \cdot \frac{1}{3}x + 60 \cdot 7,65x - 60 \cdot 1,5 = 0$.

$102x^2 - 20x + 459x - 90 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$102x^2 + 439x - 90 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 439^2 - 4 \cdot 102 \cdot (-90) = 192721 + 36720 = 229441$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{229441} = 479$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-439 + 479}{2 \cdot 102} = \frac{40}{204} = \frac{40:4}{204:4} = \frac{10}{51}$.

$x_2 = \frac{-439 - 479}{2 \cdot 102} = \frac{-918}{204} = -\frac{918:102}{204:102} = -\frac{9}{2} = -4,5$.

Ответ: $-4,5; \frac{10}{51}$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7})x = \frac{1}{35}(3,9 - 0,3x)$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{6}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{13}{7}$.

Уравнение примет вид: $(\frac{x}{7} - \frac{13}{7})x = \frac{1}{35}(3,9 - 0,3x)$.

Вынесем общий множитель в скобках слева и справа:

$\frac{x-13}{7}x = \frac{1}{35} \cdot 0,3 \cdot (13 - x)$.

Заметим, что $13-x = -(x-13)$.

$\frac{x-13}{7}x = -\frac{0,3}{35}(x - 13)$.

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x-13}{7}x + \frac{0,3}{35}(x - 13) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x-13)$ за скобки:

$(x-13)(\frac{x}{7} + \frac{0,3}{35}) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x - 13 = 0 \Rightarrow x_1 = 13$.

2) $\frac{x}{7} + \frac{0,3}{35} = 0 \Rightarrow \frac{x}{7} = -\frac{0,3}{35} \Rightarrow x = -0,3 \cdot \frac{7}{35} \Rightarrow x = -0,3 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow x_2 = -0,06$.

Ответ: $-0,06; 13$.