Номер 15.11, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.11. Разложите на множители:

1) $ \left(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{12}mx\right) - n\left(\frac{11}{12}n + 2\right) + \frac{1}{2}\left(4 + 1\frac{5}{6}n\right); $

2) $ (169abc - 196cbax) + (13^2y - 14^2yx) - (14^2x - 13^2); $

3) $ (225x^2yz^3 - 289yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 225x^2z^2); $

4) $ (450tk^3 - 225k^2) + t(8t^2k - 4t) - 2\left(\frac{1}{2} - tk\right). $

1) Исходное выражение: $\left(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{12}mx\right) - n\left(\frac{11}{12}n + 2\right) + \frac{1}{2}\left(4 + 1\frac{5}{6}n\right)$.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

В первом слагаемом вынесем общий множитель за скобки: $\left(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{12}mx\right) = mx\left(\frac{121}{144}n + \frac{22}{12}\right)$. Заметим, что $\frac{121}{144} = \left(\frac{11}{12}\right)^2$ и $\frac{22}{12} = 2 \cdot \frac{11}{12}$, поэтому можно вынести множитель $\frac{11}{12}$: $mx \cdot \frac{11}{12}\left(\frac{11}{12}n + 2\right) = \frac{11}{12}mx\left(\frac{11}{12}n + 2\right)$.

Второе слагаемое оставляем без изменений: $- n\left(\frac{11}{12}n + 2\right)$.

Преобразуем третье слагаемое, предварительно переведя смешанную дробь в неправильную $1\frac{5}{6} = \frac{11}{6}$: $\frac{1}{2}\left(4 + \frac{11}{6}n\right) = \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{6}n = 2 + \frac{11}{12}n = \frac{11}{12}n + 2$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в выражение:

$\frac{11}{12}mx\left(\frac{11}{12}n + 2\right) - n\left(\frac{11}{12}n + 2\right) + 1 \cdot \left(\frac{11}{12}n + 2\right)$.

Видно, что $\left(\frac{11}{12}n + 2\right)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$\left(\frac{11}{12}n + 2\right)\left(\frac{11}{12}mx - n + 1\right)$.

Ответ: $\left(\frac{11}{12}n + 2\right)\left(\frac{11}{12}mx - n + 1\right)$.

2) Исходное выражение: $(169abc - 196cbax) + (13^2y - 14^2yx) - (14^2x - 13^2)$.

Для удобства приведем выражение к стандартному виду: $169 = 13^2$, $196 = 14^2$, а переменные запишем в алфавитном порядке ($cbax = abcx$, $yx=xy$):

$(13^2abc - 14^2abcx) + (13^2y - 14^2xy) - (14^2x - 13^2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

Из первой скобки: $abc(13^2 - 14^2x) = abc(169 - 196x)$.

Из второй скобки: $y(13^2 - 14^2x) = y(169 - 196x)$.

Преобразуем третье слагаемое: $-(14^2x - 13^2) = -(196x - 169) = 169 - 196x$.

Теперь выражение выглядит так:

$abc(169 - 196x) + y(169 - 196x) + 1 \cdot (169 - 196x)$.

Вынесем общий множитель $(169 - 196x)$ за скобки:

$(169 - 196x)(abc + y + 1)$.

Ответ: $(169 - 196x)(abc + y + 1)$.

3) Исходное выражение: $(225x^2yz^3 - 289yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 225x^2z^2)$.

Заметим, что $225 = 15^2$ и $289 = 17^2$. Подставим эти значения и вынесем общие множители из каждой группы:

В первой скобке: $225x^2yz^3 - 289yz = yz(225x^2z^2 - 289) = yz(15^2x^2z^2 - 17^2)$.

Во второй группе: $-(15^2x^2z^2 - 17^2)$.

В третьей группе: $17^2 - 225x^2z^2 = -(225x^2z^2 - 17^2) = -(15^2x^2z^2 - 17^2)$.

Обозначим общее выражение в скобках $A = (15^2x^2z^2 - 17^2)$. Тогда все выражение можно переписать как:

$yz \cdot A - A - A = A(yz - 1 - 1) = A(yz - 2)$.

Подставим обратно выражение для $A$:

$(15^2x^2z^2 - 17^2)(yz - 2)$.

Первый множитель можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 15xz$ и $b = 17$:

$(15^2x^2z^2 - 17^2) = ((15xz)^2 - 17^2) = (15xz - 17)(15xz + 17)$.

Окончательный результат:

$(15xz - 17)(15xz + 17)(yz - 2)$.

Ответ: $(15xz - 17)(15xz + 17)(yz - 2)$.

4) Исходное выражение: $(450tk^3 - 225k^2) + t(8t^2k - 4t) - 2\left(\frac{1}{2} - tk\right)$.

Разложим на множители каждую группу слагаемых:

Первая скобка: $450tk^3 - 225k^2$. Вынесем общий множитель $225k^2$: $225k^2(2tk - 1)$.

Второе слагаемое: $t(8t^2k - 4t)$. Вынесем $4t$ из внутренней скобки: $t \cdot 4t(2tk - 1) = 4t^2(2tk - 1)$.

Третье слагаемое: $-2\left(\frac{1}{2} - tk\right)$. Раскроем скобки: $-2 \cdot \frac{1}{2} - 2(-tk) = -1 + 2tk = 2tk - 1$.

Теперь все выражение имеет вид:

$225k^2(2tk - 1) + 4t^2(2tk - 1) + 1 \cdot (2tk - 1)$.

Вынесем общий множитель $(2tk - 1)$ за скобки:

$(2tk - 1)(225k^2 + 4t^2 + 1)$.

Выражение во второй скобке, $(15k)^2 + (2t)^2 + 1$, является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(2tk - 1)(225k^2 + 4t^2 + 1)$.