Вопросы для закрепления, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях для разложения многочлена на множители можно применить способ группировки?

2. Каков алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки?

1. В каких случаях для разложения многочлена на множители можно применить способ группировки?

Способ группировки для разложения многочлена на множители можно применить в тех случаях, когда не все члены многочлена имеют общий множитель, но их можно объединить в группы таким образом, что после вынесения за скобки общих множителей из каждой группы получается один и тот же многочленный множитель. Этот новый общий множитель затем можно вынести за скобки.

Ключевые признаки, указывающие на возможность применения этого метода:

1. У многочлена нет общего множителя для всех его членов. Если бы он был, его следовало бы вынести в первую очередь.

2. Многочлен чаще всего содержит четное количество членов (например, 4 или 6), что позволяет удобно разбить их на группы по 2 или 3 члена.

3. Существует такая комбинация членов в группах, что после вынесения из каждой группы своего общего множителя, оставшиеся в скобках выражения (многочлены) оказываются одинаковыми.

Например, в многочлене $ax + ay + 5x + 5y$ нет общего множителя для всех четырех членов. Но если сгруппировать их попарно $(ax + ay) + (5x + 5y)$, то из первой группы можно вынести $a$, а из второй — $5$. Получится выражение $a(x+y) + 5(x+y)$. Теперь видно, что оба слагаемых имеют общий множитель $(x+y)$, который и выносится за скобки: $(x+y)(a+5)$.

Ответ: Способ группировки применим, если члены многочлена удается объединить в группы так, что после вынесения общего множителя из каждой группы в скобках остается одинаковое выражение, которое затем выносится как общий многочленный множитель.

2. Каков алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки?

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки состоит из следующих последовательных шагов:

1. Объединить члены многочлена в группы. Члены многочлена объединяют в группы (чаще всего по два или три члена) таким образом, чтобы у членов в каждой группе был свой общий множитель. Если с первого раза не удается найти удачную группировку, стоит попробовать поменять члены многочлена местами (согласно переместительному закону сложения) и сгруппировать их по-другому.

2. Вынести общий множитель в каждой группе. Внутри каждой созданной группы находят общий множитель для всех ее членов и выносят его за скобки.

3. Вынести общий многочленный множитель. Если группировка была выполнена правильно, то после второго шага у всех получившихся слагаемых появится общий множитель в виде многочлена (выражения в скобках). Этот общий многочлен необходимо вынести за скобки.

В результате этих действий исходный многочлен будет представлен в виде произведения нескольких множителей.

Пример: Разложить на множители многочлен $a^3 - 3a^2 + 4a - 12$.

- Шаг 1. Сгруппируем члены попарно: $(a^3 - 3a^2) + (4a - 12)$.

- Шаг 2. Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^2$, а из второй — $4$: $a^2(a - 3) + 4(a - 3)$.

- Шаг 3. Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(a - 3)$. Вынесем его за скобки. В скобках останется сумма множителей $a^2$ и $4$. Получаем: $(a - 3)(a^2 + 4)$.

Ответ: Алгоритм: 1. Объединить члены многочлена в группы, имеющие общий множитель. 2. Вынести из каждой группы общий множитель за скобки. 3. Вынести за скобки общий для всех групп многочленный множитель, который появился в скобках после второго шага.