Номер 16.6, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.6. Найдите значение выражения:

1) $6x^2 - 6xy + 8x + 8y$ при $x = -4, y = 2$;

2) $b^2 + bc + ab + ac$ при $a = -1, b = -2, c = -0,5$;

3) $3xy - x^3y^3 - 6 + 2x^2y^2$ при $x = \frac{2}{3}, y = \frac{3}{4}$.

1) Для нахождения значения выражения $6x^2 - 6xy + 8x + 8y$ при $x = -4, y = 2$, сначала упростим его, применив метод группировки и вынесения общего множителя за скобки.

Сгруппируем слагаемые: $(6x^2 - 6xy) + (8x + 8y)$.

Вынесем общие множители в каждой группе: $6x(x - y) + 8(x + y)$.

Теперь подставим значения $x = -4$ и $y = 2$ в полученное выражение:

$6(-4)(-4 - 2) + 8(-4 + 2) = 6(-4)(-6) + 8(-2) = 144 - 16 = 128$.

Ответ: 128

2) Для нахождения значения выражения $b^2 + bc + ab + ac$ при $a = -1, b = -2, c = -0,5$, также сначала упростим его методом группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(b^2 + bc) + (ab + ac)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $b(b + c) + a(b + c)$.

Теперь вынесем общий множитель $(b+c)$ за скобки: $(b + c)(b + a)$.

Подставим значения $a = -1, b = -2$ и $c = -0,5$ в упрощенное выражение:

$(-2 + (-0,5))(-2 + (-1)) = (-2 - 0,5)(-2 - 1) = (-2,5)(-3) = 7,5$.

Ответ: 7,5

3) Для нахождения значения выражения $3xy - x^3y^3 - 6 + 2x^2y^2$ при $x = \frac{2}{3}, y = \frac{3}{4}$, заметим, что в выражение входят степени произведения $xy$. Найдем сначала значение этого произведения.

$xy = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Теперь можно переписать исходное выражение, используя степени $xy$:

$3(xy) - (xy)^3 - 6 + 2(xy)^2$.

Подставим найденное значение $xy = \frac{1}{2}$:

$3(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^3 - 6 + 2(\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{8} - 6 + 2(\frac{1}{4}) = \frac{3}{2} - \frac{1}{8} - 6 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{8} - 6 + \frac{1}{2}$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 8:

$\frac{3 \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} - \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8} - \frac{1}{8} - \frac{48}{8} + \frac{4}{8} = \frac{12 - 1 - 48 + 4}{8} = \frac{15 - 49}{8} = -\frac{34}{8}$.

Сократим дробь на 2: $-\frac{17}{4}$.

Альтернативный способ после подстановки $xy = \frac{1}{2}$:

Выражение $3z - z^3 - 6 + 2z^2$ (где $z=xy$) можно сгруппировать: $(-z^3 + 2z^2) + (3z - 6) = -z^2(z-2) + 3(z-2) = (3-z^2)(z-2)$.

Подставим $z=\frac{1}{2}$: $(3 - (\frac{1}{2})^2)(\frac{1}{2} - 2) = (3 - \frac{1}{4})(\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) = (\frac{12-1}{4})(-\frac{3}{2}) = \frac{11}{4} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{33}{8}$.

Проверка первого способа: $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} - 6 = \frac{4}{2} - \frac{1}{8} - 6 = 2 - 6 - \frac{1}{8} = -4 - \frac{1}{8} = -\frac{32}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{33}{8}$. В первом способе была допущена арифметическая ошибка в последнем действии. Правильный результат $-\frac{33}{8}$.

Ответ: $-\frac{33}{8}$