Вопрос критерии успеха, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как преобразовать выражение?

Преобразование выражений — это процесс их упрощения или приведения к другому виду с помощью алгебраических и тригонометрических тождеств. Рассмотрим несколько примеров.

а) Преобразование многочлена

Упростим выражение: $(a - 3b)^2 - (3a - b)(3a + b) + (a + 3b)^2$.

Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
• Разность квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
• Квадрат суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

1. Раскроем квадрат разности: $(a - 3b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$.

2. Раскроем разность квадратов: $(3a - b)(3a + b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$.

3. Раскроем квадрат суммы: $(a + 3b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$.

4. Подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 - 6ab + 9b^2) - (9a^2 - b^2) + (a^2 + 6ab + 9b^2)$.

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 6ab + 9b^2 - 9a^2 + b^2 + a^2 + 6ab + 9b^2 =$

$(a^2 - 9a^2 + a^2) + (-6ab + 6ab) + (9b^2 + b^2 + 9b^2) = -7a^2 + 19b^2$.

Ответ: $-7a^2 + 19b^2$.

б) Преобразование рациональной дроби

Сократим дробь: $\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4}$.

1. Заметим, что числитель представляет собой разность кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$.

2. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

3. Подставим разложение в исходную дробь:

$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 2x + 4)$. Отметим, что выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$.

$\frac{(x - 2)\cancel{(x^2 + 2x + 4)}}{\cancel{x^2 + 2x + 4}} = x - 2$.

Ответ: $x - 2$.

в) Преобразование тригонометрического выражения

Упростим выражение: $\frac{\sin(2\alpha)}{1 - \cos(2\alpha)}$.

1. Используем формулы двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Для знаменателя удобнее всего использовать формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

2. Подставим формулы в выражение:

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 - (1 - 2\sin^2\alpha)}$.

3. Упростим знаменатель:

$1 - (1 - 2\sin^2\alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha$.

4. Получим дробь:

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha}$.

5. Сократим общие множители 2 и $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

6. Полученное отношение по определению является котангенсом:

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$.

Ответ: $\cot\alpha$.

г) Преобразование иррационального выражения

Упростим выражение: $\sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

1. Для упрощения необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

2. Преобразуем каждый корень:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.

4. Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$(4 + 5 - 2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.

Ответ: $7\sqrt{3}$.