Номер 16.9, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.9. Решите уравнение, разложив левую часть на множители:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

2) $x^2 + 5x + 6 = 0;$

3) $x^2 + x - 6 = 0;$

4) $x^2 - x - 6 = 0;$

5) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

6) $x^2 + 5x + 4 = 0.$

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Чтобы решить уравнение, разложим его левую часть на множители. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ корни $x_1$ и $x_2$ связаны с коэффициентами по теореме Виета: $x_1+x_2=-p$ и $x_1 \cdot x_2=q$. В данном случае $p=-5$ и $q=6$. Ищем два числа, сумма которых равна $5$, а произведение равно $6$. Эти числа — 2 и 3.

Следовательно, левую часть уравнения можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Уравнение принимает вид: $(x-2)(x-3) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует:

$x-2=0$ или $x-3=0$.

Решая эти уравнения, находим корни: $x=2$ и $x=3$.

Ответ: 2; 3.

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Разложим левую часть на множители, найдя корни по теореме Виета. Сумма корней $x_1+x_2=-5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Этим условиям удовлетворяют числа -2 и -3.

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $x^2 + 5x + 6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x+2)(x+3)$.

Уравнение $(x+2)(x+3) = 0$ истинно, когда один из множителей равен нулю:

$x+2=0$ или $x+3=0$.

Отсюда получаем корни: $x=-2$ или $x=-3$.

Ответ: -3; -2.

3) $x^2 + x - 6 = 0$

Для разложения на множители воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1+x_2=-1$, произведение $x_1 \cdot x_2=-6$. Подбираем числа: это 2 и -3.

Левая часть уравнения раскладывается на множители: $x^2 + x - 6 = (x-2)(x - (-3)) = (x-2)(x+3)$.

Получаем уравнение: $(x-2)(x+3) = 0$.

Это уравнение выполняется, если $x-2=0$ или $x+3=0$.

Находим корни: $x=2$ или $x=-3$.

Ответ: -3; 2.

4) $x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни по теореме Виета для разложения на множители. Сумма корней $x_1+x_2=1$, произведение $x_1 \cdot x_2=-6$. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -2.

Разложение на множители: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x - (-2)) = (x-3)(x+2)$.

Уравнение принимает вид: $(x-3)(x+2) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем: $x-3=0$ или $x+2=0$.

Решения: $x=3$ или $x=-2$.

Ответ: -2; 3.

5) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Разложим левую часть на множители. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=5$, а произведение $x_1 \cdot x_2=4$. Корни, удовлетворяющие этим условиям, — это 1 и 4.

Соответственно, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Уравнение сводится к виду: $(x-1)(x-4) = 0$.

Отсюда, $x-1=0$ или $x-4=0$.

Корни уравнения: $x=1$ и $x=4$.

Ответ: 1; 4.

6) $x^2 + 5x + 4 = 0$

Используем теорему Виета для разложения левой части. Сумма корней $x_1+x_2=-5$, произведение $x_1 \cdot x_2=4$. Этим условиям удовлетворяют числа -1 и -4.

Разложение на множители: $x^2 + 5x + 4 = (x - (-1))(x - (-4)) = (x+1)(x+4)$.

Уравнение принимает вид: $(x+1)(x+4) = 0$.

Произведение равно нулю, если $x+1=0$ или $x+4=0$.

Находим решения: $x=-1$ или $x=-4$.

Ответ: -4; -1.