Номер 16.11, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.11. Решите уравнение, разложив на множители выражение, стоящее в скобках:

1) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0;$

2) $(2 + 3x + x^2)(12 + 7x + x^2) = 0;$

3) $(1 - 2x^2 + x)(5 - 10,5x + x^2) = 0;$

4) $(12 - 7x + x^2)(5x - 1 - 6x^2) = 0.$

1) В уравнении $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0$ разложим на множители выражения в скобках. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для первого множителя $x^2 - 3x + 2$: решим уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Для второго множителя $x^2 - 7x + 12$: решим уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $12$. Корнями являются $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$. Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Подставив разложения в исходное уравнение, получим: $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни уравнения: $x=1, x=2, x=3, x=4$.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

2) В уравнении $(2 + 3x + x^2)(12 + 7x + x^2) = 0$ разложим на множители выражения в скобках, предварительно записав их в стандартном виде: $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) = 0$.

Для первого множителя $x^2 + 3x + 2$: решим уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Для второго множителя $x^2 + 7x + 12$: решим уравнение $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_3 + x_4 = -7$ и произведение $x_3 \cdot x_4 = 12$. Корни $x_3 = -3$ и $x_4 = -4$. Следовательно, $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.

Уравнение принимает вид: $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 0$.

Корнями уравнения являются: $x=-1, x=-2, x=-3, x=-4$.

Ответ: -4; -3; -2; -1.

3) В уравнении $(1 - 2x^2 + x)(5 - 10,5x + x^2) = 0$ разложим на множители выражения в скобках, предварительно записав их в стандартном виде: $(-2x^2 + x + 1)(x^2 - 10,5x + 5) = 0$.

Для первого множителя $-2x^2 + x + 1$: решим уравнение $-2x^2 + x + 1 = 0$, или $2x^2 - x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$. Разложение: $-2x^2 + x + 1 = -2(x - (-\frac{1}{2}))(x - 1) = -2(x + \frac{1}{2})(x - 1)$.

Для второго множителя $x^2 - 10,5x + 5$: решим уравнение $x^2 - 10,5x + 5 = 0$. Для удобства вычислений умножим уравнение на 2: $2x^2 - 21x + 10 = 0$. Дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361$. Корни: $x_3 = \frac{21 - \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 19}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_4 = \frac{21 + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 19}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Разложение: $x^2 - 10,5x + 5 = (x - \frac{1}{2})(x - 10)$.

Уравнение принимает вид: $-2(x + \frac{1}{2})(x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - 10) = 0$.

Корнями уравнения являются: $x=-\frac{1}{2}, x=1, x=\frac{1}{2}, x=10$.

Ответ: -0,5; 0,5; 1; 10.

4) В уравнении $(12 - 7x + x^2)(5x - 1 - 6x^2) = 0$ разложим на множители выражения в скобках, предварительно записав их в стандартном виде: $(x^2 - 7x + 12)(-6x^2 + 5x - 1) = 0$.

Для первого множителя $x^2 - 7x + 12$: как и в задании 1, корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны $x_1=3$ и $x_2=4$. Разложение: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Для второго множителя $-6x^2 + 5x - 1$: решим уравнение $-6x^2 + 5x - 1 = 0$, или $6x^2 - 5x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_3 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ и $x_4 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Разложение: $-6x^2 + 5x - 1 = -6(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})$.

Уравнение принимает вид: $(x - 3)(x - 4)(-6)(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2}) = 0$.

Корнями уравнения являются: $x=3, x=4, x=\frac{1}{3}, x=\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$; 3; 4.