Проанализируй и ответь, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как разложили на множители многочлен $20a - 4ab + 5c - bc$?

$20a - 4ab + 5c - bc = (20a + 5c) + (-4ab - bc) = 5(4a + c) - b(4a + c) = (4a + c)(5-b).$

Для разложения многочлена $20a - 4ab + 5c - bc$ на множители был применен способ группировки. Этот метод заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе появился общий множитель, который можно вынести за скобки.

Процесс разложения на множители состоит из нескольких шагов:

1. Группировка слагаемых.

Исходный многочлен: $20a - 4ab + 5c - bc$.

Члены многочлена объединяют в две группы. В примере сгруппированы первый член с третьим и второй с четвертым: $(20a + 5c) + (-4ab - bc)$.

Такая группировка выбрана потому, что у пары $(20a, 5c)$ есть общий множитель $5$, а у пары $(-4ab, -bc)$ есть общий множитель $-b$.

2. Вынесение общего множителя за скобки в каждой группе.

Для первой группы $(20a + 5c)$ общим множителем является $5$. Выносим его за скобки:

$20a + 5c = 5 \cdot 4a + 5 \cdot c = 5(4a + c)$.

Для второй группы $(-4ab - bc)$ общим множителем является $-b$. Выносим его за скобки:

$-4ab - bc = (-b) \cdot 4a + (-b) \cdot c = -b(4a + c)$.

3. Вынесение общего множителя-многочлена.

После вынесения множителей в каждой группе выражение принимает вид:

$5(4a + c) - b(4a + c)$.

Теперь мы видим, что оба слагаемых $5(4a + c)$ и $-b(4a + c)$ имеют общий множитель — выражение в скобках $(4a + c)$. Этот общий множитель-многочлен также можно вынести за скобки:

$(4a + c)(5 - b)$.

Таким образом, полная последовательность преобразований выглядит так:

$20a - 4ab + 5c - bc = (20a + 5c) + (-4ab - bc) = 5(4a + c) - b(4a + c) = (4a + c)(5 - b)$.

Следует отметить, что возможна и другая группировка, которая приведет к тому же результату. Например, можно сгруппировать первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(20a - 4ab) + (5c - bc) = 4a(5 - b) + c(5 - b) = (5 - b)(4a + c)$.

Ответ: Многочлен $20a - 4ab + 5c - bc$ разложили на множители методом группировки. Сначала слагаемые сгруппировали как $(20a + 5c) + (-4ab - bc)$. Затем из первой группы вынесли общий множитель $5$, а из второй — $-b$, что привело к выражению $5(4a + c) - b(4a + c)$. На заключительном этапе за скобки вынесли общий для обоих слагаемых многочлен $(4a + c)$, получив итоговое произведение $(4a + c)(5 - b)$.