Номер 15.13, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (15.12-15.13):

15.13.

1) $x(14x^2 - 49x) - 8x(2x - 7) = 0;$

2) $9x(125x - 25x^2) - x(15x - 3x^2) = 0;$

3) $9y(0,81y^2 - 0,9y) = 10y(0,1 - 0,09y);$

4) $8y\left(\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y\right) = \frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y.$

1) Исходное уравнение: $x(14x^2 - 49x) - 8x(2x - 7) = 0$.

Вынесем общий множитель $7x$ из первой скобки: $14x^2 - 49x = 7x(2x - 7)$.

Подставим это в уравнение:

$x \cdot 7x(2x - 7) - 8x(2x - 7) = 0$

$7x^2(2x - 7) - 8x(2x - 7) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $x(2x - 7)$:

$x(2x - 7)(7x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:

1) $x = 0$

2) $2x - 7 = 0 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$

3) $7x - 8 = 0 \Rightarrow 7x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{7}$

Ответ: $0; \frac{8}{7}; 3.5$

2) Исходное уравнение: $9x(125x - 25x^2) - x(15x - 3x^2) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой скобки:

В первой скобке: $125x - 25x^2 = 25x(5 - x)$.

Во второй скобке: $15x - 3x^2 = 3x(5 - x)$.

Подставим в уравнение:

$9x \cdot 25x(5 - x) - x \cdot 3x(5 - x) = 0$

$225x^2(5 - x) - 3x^2(5 - x) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2(5 - x)$:

$x^2(5 - x)(225 - 3) = 0$

$222x^2(5 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей (кроме константы 222) равен нулю:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$

Ответ: $0; 5$

3) Исходное уравнение: $9y(0.81y^2 - 0.9y) = 10y(0.1 - 0.09y)$.

Перенесем все члены в левую часть:

$9y(0.81y^2 - 0.9y) - 10y(0.1 - 0.09y) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

В первой скобке: $0.81y^2 - 0.9y = 0.9y(0.9y - 1)$.

Во второй скобке: $0.1 - 0.09y = 0.1(1 - 0.9y) = -0.1(0.9y - 1)$.

Подставим в уравнение:

$9y \cdot 0.9y(0.9y - 1) - 10y \cdot (-0.1(0.9y - 1)) = 0$

$8.1y^2(0.9y - 1) + y(0.9y - 1) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $y(0.9y - 1)$:

$y(0.9y - 1)(8.1y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $y = 0$

2) $0.9y - 1 = 0 \Rightarrow 0.9y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$

3) $8.1y + 1 = 0 \Rightarrow 8.1y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{8.1} = -\frac{10}{81}$

Ответ: $-\frac{10}{81}; 0; \frac{10}{9}$

4) Исходное уравнение: $8y(\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y) = \frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y$.

Перенесем все члены в левую часть:

$8y(\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y) - (\frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y) = 0$

Вынесем общие множители из выражений в скобках:

В первом выражении: $\frac{3}{4}y^2 - \frac{9}{16}y = \frac{3}{4}y(y - \frac{3}{4})$.

Во втором выражении: $\frac{1}{7}y^2 - \frac{3}{28}y = \frac{1}{7}y(y - \frac{3}{4})$.

Подставим в уравнение:

$8y \cdot \frac{3}{4}y(y - \frac{3}{4}) - \frac{1}{7}y(y - \frac{3}{4}) = 0$

$6y^2(y - \frac{3}{4}) - \frac{1}{7}y(y - \frac{3}{4}) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $y(y - \frac{3}{4})$:

$y(y - \frac{3}{4})(6y - \frac{1}{7}) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $y = 0$

2) $y - \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4}$

3) $6y - \frac{1}{7} = 0 \Rightarrow 6y = \frac{1}{7} \Rightarrow y = \frac{1}{42}$

Ответ: $0; \frac{1}{42}; \frac{3}{4}$