Номер 15.6, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.6. Даны многочлены $x^3 - 2x^2$, $x^6 + 2x^4$, $3 - 6x$. Среди них выпишите многочлены, общим множителем которых являются выражения:

1) $x^3$;

2) $x - 2$.

1) $x^3$

Чтобы определить, для каких из данных многочленов выражение $x^3$ является общим множителем, нужно проверить, можно ли вынести $x^3$ за скобки в каждом из них. Это означает, что каждый член многочлена должен делиться на $x^3$.

1. Рассмотрим многочлен $x^3 - 2x^2$.

Попытаемся вынести $x^3$ за скобки. Член $x^3$ делится на $x^3$, но член $2x^2$ не делится на $x^3$ без остатка. Максимальная степень $x$, которую можно вынести как общий множитель, это $x^2$: $x^2(x - 2)$. Таким образом, $x^3$ не является общим множителем для этого многочлена.

2. Рассмотрим многочлен $x^6 + 2x^4$.

Каждый член этого многочлена делится на $x^3$. Член $x^6$ можно представить как $x^3 \cdot x^3$, а член $2x^4$ можно представить как $x^3 \cdot 2x$. Следовательно, мы можем вынести $x^3$ за скобки: $x^6 + 2x^4 = x^3 \cdot x^3 + x^3 \cdot 2x = x^3(x^3 + 2x)$. Значит, $x^3$ является общим множителем для этого многочлена.

3. Рассмотрим многочлен $3 - 6x$.

Члены этого многочлена $3$ и $-6x$. Ни один из них не содержит множителя $x^3$. Общий множитель здесь $3$: $3(1 - 2x)$. Поэтому $x^3$ не является общим множителем.

Ответ: $x^6 + 2x^4$.

2) $x - 2$

Чтобы определить, для каких из данных многочленов выражение $x - 2$ является множителем, нужно проверить, делится ли многочлен на $x - 2$ без остатка. Для этого можно использовать теорему Безу, которая гласит, что многочлен $P(x)$ делится на $(x - a)$ тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$. В нашем случае $a = 2$.

1. Рассмотрим многочлен $P_1(x) = x^3 - 2x^2$.

Найдем значение многочлена при $x = 2$:

$P_1(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 = 8 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$.

Так как $P_1(2) = 0$, многочлен $x^3 - 2x^2$ делится на $x - 2$. Также это видно при разложении на множители: $x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2)$.

2. Рассмотрим многочлен $P_2(x) = x^6 + 2x^4$.

Найдем значение многочлена при $x = 2$:

$P_2(2) = 2^6 + 2 \cdot 2^4 = 64 + 2 \cdot 16 = 64 + 32 = 96$.

Так как $P_2(2) \neq 0$, многочлен $x^6 + 2x^4$ не делится на $x - 2$.

3. Рассмотрим многочлен $P_3(x) = 3 - 6x$.

Найдем значение многочлена при $x = 2$:

$P_3(2) = 3 - 6 \cdot 2 = 3 - 12 = -9$.

Так как $P_3(2) \neq 0$, многочлен $3 - 6x$ не делится на $x - 2$.

Ответ: $x^3 - 2x^2$.