Вопрос критерии успеха, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как разложить многочлен на множители?

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения нескольких многочленов (или одночленов). Существует несколько основных способов для этого.

Вынесение общего множителя за скобки

Это самый простой способ, который следует проверять в первую очередь. Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен $12x^3y - 18x^2y^2$.

Решение:

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 12 и 18. Это 6.
2. Найдем общие переменные в наименьшей степени. Это $x^2$ и $y$.
3. Общий множитель равен $6x^2y$.
4. Вынесем его за скобки, разделив каждый член многочлена на этот общий множитель:

   $12x^3y - 18x^2y^2 = 6x^2y \cdot ( \frac{12x^3y}{6x^2y} - \frac{18x^2y^2}{6x^2y} ) = 6x^2y(2x - 3y)$.

Ответ: $6x^2y(2x - 3y)$.

Использование формул сокращенного умножения

Необходимо проверить, не соответствует ли многочлен одной из известных формул:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример: Разложить на множители $25a^2 - 16$.

Решение: Представим многочлен в виде разности квадратов. $25a^2$ можно записать как $(5a)^2$, а 16 как $4^2$.

Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где в нашем случае $A=5a$ и $B=4$.

Получаем: $25a^2 - 16 = (5a)^2 - 4^2 = (5a - 4)(5a + 4)$.

Ответ: $(5a - 4)(5a + 4)$.

Способ группировки

Этот метод применяется к многочленам, у которых нет общего множителя для всех членов, но их можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе появился свой общий множитель.

Пример: Разложить на множители $xy - 6 + 3x - 2y$.

Решение:

1. Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$.
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$.
3. Теперь у нас есть общий множитель $(y+3)$, который тоже можно вынести за скобки: $(y + 3)(x - 2)$.

Ответ: $(y + 3)(x - 2)$.

Разложение квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Пример: Разложить на множители $2x^2 - 5x - 3$.

Решение:

1. Приравняем трехчлен к нулю и найдем его корни: $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
3. Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.
4. $x_1 = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
5. $x_2 = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
6. Подставим корни в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a=2$:

   $2(x - 3)(x - (-0.5)) = 2(x - 3)(x + 0.5)$.

7. Для избавления от дроби можно умножить второй множитель на 2: $(x - 3)(2(x + 0.5)) = (x - 3)(2x + 1)$.

Ответ: $(x - 3)(2x + 1)$.

Поиск целочисленных корней и деление многочлена

Этот метод подходит для многочленов степени 3 и выше. Согласно следствию из теоремы Безу, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена.

Пример: Разложить на множители $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$.

Решение:

1. Свободный член равен -6. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
2. Проверим их, подставляя в многочлен вместо $x$. Пусть $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$.

   $P(1) = 1 + 2 - 5 - 6 \neq 0$

   $P(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, а $(x - (-1)) = (x+1)$ — один из множителей.

3. Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на $(x+1)$ "столбиком" (или по схеме Горнера). Результатом деления будет $x^2 + x - 6$.
4. Таким образом, $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x^2 + x - 6)$.
5. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Его корни можно найти по теореме Виета ($x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$) или через дискриминант. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
6. Значит, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.
7. Собираем все вместе: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x-2)(x+3)$.

Ответ: $(x+1)(x-2)(x+3)$.