Вопросы для закрепления, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что значит "разложить многочлен на множители"?

2. Каким может быть общий множитель членов многочлена (только числом, одночленом и тому подобное)?

1. Что значит "разложить многочлен на множители"?

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких других многочленов или одночленов. Исходный многочлен, который представляет собой сумму или разность одночленов, преобразуется в выражение, являющееся их произведением. Этот процесс аналогичен разложению натурального числа на простые множители, например, число 12 можно разложить как $2 \cdot 2 \cdot 3$.

Цель разложения — представить многочлен в виде произведения более простых, "неделимых" сомножителей, которые дальше уже нельзя разложить на ещё более простые множители (в рамках действительных чисел).

Например, многочлен $5x + 5y$, являющийся суммой, можно разложить, вынеся общий множитель 5 за скобки, и получить произведение: $5(x + y)$. Здесь множителями являются число 5 и многочлен $(x + y)$. Другой пример: многочлен $x^2 - 9$ можно представить как произведение двух двучленов с помощью формулы разности квадратов: $(x - 3)(x + 3)$. Исходное выражение — разность, а результат — произведение.

Разложение на множители является ключевым приемом для решения уравнений, упрощения алгебраических дробей и преобразования выражений.

Ответ: Представить многочлен в виде произведения нескольких сомножителей (других многочленов или одночленов).

2. Каким может быть общий множитель членов многочлена (только числом, одночленом и тому подобное)?

Общий множитель членов многочлена — это выражение (число, переменная или их комбинация), на которое делится без остатка каждый член данного многочлена. Общий множитель может быть нескольких видов.

Во-первых, это может быть число (числовой коэффициент). В этом случае он является наибольшим общим делителем (НОД) числовых коэффициентов всех членов многочлена. Например: в многочлене $12a - 18b$ НОД коэффициентов 12 и 18 равен 6, поэтому разложение будет $6(2a - 3b)$.

Во-вторых, это может быть переменная в некоторой степени. Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в наименьшей из имеющихся степеней. Например: в многочлене $x^4 + 3x^3 - x^2$ наименьшая степень переменной $x$ равна 2, поэтому общий множитель — это $x^2$, а разложение выглядит как $x^2(x^2 + 3x - 1)$.

В-третьих, это может быть одночлен, что является самым общим случаем, объединяющим первые два. Общий множитель-одночлен является произведением общего числового коэффициента и общих переменных в наименьших степенях. Например: для многочлена $15x^3y^2 + 25x^2y^4$ общим множителем будет одночлен $5x^2y^2$, так как НОД(15, 25) = 5, наименьшая степень для $x$ — это 2, а для $y$ — 2. Разложение: $5x^2y^2(3x + 5y^2)$.

Наконец, общим множителем может выступать и целый многочлен. Это часто встречается при методе группировки. Например: в выражении $a(b+1) - c(b+1)$ оба слагаемых содержат одинаковый множитель $(b+1)$, который можно вынести за скобки, получив $(b+1)(a-c)$.

Ответ: Общий множитель членов многочлена может быть числом, переменной в некоторой степени, одночленом (что объединяет первые два случая) или даже другим многочленом.