Номер 15.3, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители многочлены (15.1–15.5):

15.3.

1) $3ab + 9ac + 27ad;$

2) $4xy + 8xz - 16x;$

3) $0.2mn - 0.8mk + 1.6m;$

4) $9tk - 18tx + 27t;$

5) $0.75at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a;$

6) $-\frac{2}{3}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d.$

1) $3ab + 9ac + 27ad$

Для разложения многочлена на множители необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки.

Члены многочлена: $3ab$, $9ac$, $27ad$.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов $3$, $9$ и $27$. НОД(3, 9, 27) = $3$.

Каждый член многочлена содержит переменную $a$.

Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3a$.

Разделим каждый член многочлена на $3a$:

$3ab \div (3a) = b$

$9ac \div (3a) = 3c$

$27ad \div (3a) = 9d$

Таким образом, получаем разложение:

$3ab + 9ac + 27ad = 3a(b + 3c + 9d)$.

Ответ: $3a(b + 3c + 9d)$.

2) $4xy + 8xz - 16x$

Найдем общий множитель для всех членов многочлена: $4xy$, $8xz$ и $-16x$.

НОД коэффициентов $4$, $8$ и $16$ равен $4$.

Общая переменная для всех членов — $x$.

Следовательно, общий множитель — это $4x$.

Вынесем $4x$ за скобки, разделив каждый член на $4x$:

$4xy \div (4x) = y$

$8xz \div (4x) = 2z$

$-16x \div (4x) = -4$

В результате получаем:

$4xy + 8xz - 16x = 4x(y + 2z - 4)$.

Ответ: $4x(y + 2z - 4)$.

3) $0,2mn - 0,8mk + 1,6m$

Найдем общий множитель для членов $0,2mn$, $-0,8mk$ и $1,6m$.

Общий множитель для десятичных коэффициентов $0,2$, $0,8$ и $1,6$ равен $0,2$, так как $0,8 = 0,2 \cdot 4$ и $1,6 = 0,2 \cdot 8$.

Общая переменная для всех членов — $m$.

Таким образом, общий множитель, который выносим за скобки, — это $0,2m$.

$0,2mn - 0,8mk + 1,6m = 0,2m(n) - 0,2m(4k) + 0,2m(8)$.

В результате разложения получаем:

$0,2m(n - 4k + 8)$.

Ответ: $0,2m(n - 4k + 8)$.

4) $9tk - 18tx + 27t$

Найдем общий множитель для членов $9tk$, $-18tx$ и $27t$.

НОД коэффициентов $9$, $18$ и $27$ равен $9$.

Общая переменная для всех членов — $t$.

Общий множитель для вынесения за скобки — $9t$.

Выполним вынесение:

$9tk - 18tx + 27t = 9t(k) - 9t(2x) + 9t(3)$.

Получаем:

$9t(k - 2x + 3)$.

Ответ: $9t(k - 2x + 3)$.

5) $0,75at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$

Сначала преобразуем десятичную дробь $0,75$ в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Выражение примет вид: $\frac{3}{4}at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$.

Во всех членах многочлена есть общий множитель $a$.

Для нахождения общего числового множителя для коэффициентов $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{16}$ приведем их к общему знаменателю $16$:

$\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$.

Выражение становится: $\frac{12}{16}at + \frac{12}{16}ax - \frac{9}{16}a$.

Теперь у коэффициентов $\frac{12}{16}$, $\frac{12}{16}$ и $-\frac{9}{16}$ можно вынести общий множитель. НОД числителей $12$, $12$ и $9$ равен $3$. Общий знаменатель равен $16$. Значит, выносим за скобку $\frac{3}{16}$.

Итоговый общий множитель: $\frac{3}{16}a$.

Выносим его за скобки:

$\frac{12}{16}at + \frac{12}{16}ax - \frac{9}{16}a = \frac{3}{16}a(4t + 4x - 3)$.

Ответ: $\frac{3}{16}a(4t + 4x - 3)$.

6) $-\frac{2}{3}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d$

Найдем общий множитель для всех членов многочлена.

Во всех членах есть общая переменная $d$.

Для нахождения общего множителя коэффициентов $-\frac{2}{3}$, $\frac{4}{9}$ и $-\frac{8}{9}$ приведем их к общему знаменателю $9$:

$-\frac{2}{3} = -\frac{6}{9}$.

Выражение принимает вид: $-\frac{6}{9}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d$.

НОД для абсолютных величин числителей $6$, $4$ и $8$ равен $2$. Общий знаменатель $9$. Таким образом, общий числовой множитель равен $\frac{2}{9}$.

Поскольку первый член отрицательный, удобно вынести за скобки множитель со знаком "минус", то есть $-\frac{2}{9}d$.

Разделим каждый член на $-\frac{2}{9}d$:

$(-\frac{6}{9}dx) \div (-\frac{2}{9}d) = 3x$

$(\frac{4}{9}dy) \div (-\frac{2}{9}d) = -2y$

$(-\frac{8}{9}d) \div (-\frac{2}{9}d) = 4$

В результате получаем:

$-\frac{2}{9}d(3x - 2y + 4)$.

Ответ: $-\frac{2}{9}d(3x - 2y + 4)$.