Номер 15.5, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители многочлены (15.1–15.5):

15.5.

1) $12(a + b) - c(a + b) + 5d(a + b);$

2) $14(m - n) + x(m - n) - 3x(m - n);$

3) $-1.5(x + y) + x(x + y) - y(x + y) + (x + y);$

4) $(t+k) - 8x(t+k) - 16(t+k);$

5) $(c + d)x - (c+d)y + 5(c+d) + 5xy(c + d);$

6) $5a(3a-8) - 3b(3a-8) + 9ab(3a-8) - (3a - 8);$

7) $7y(7x - y) + x(7x - y) - 7xy(7x - y) + (7x - y);$

8) $(a + b)^2(x + y) - x(a + b)^2 - y(a + b)^2 + (a + b)^2.$

102

1) В данном выражении $12(a + b) - c(a + b) + 5d(a + b)$ общим множителем для всех слагаемых является двучлен $(a+b)$. Вынесение общего множителя за скобки — это основная идея для решения данной задачи. Вынесем $(a+b)$ за скобки, а в скобках запишем оставшиеся от каждого слагаемого множители.

$12(a + b) - c(a + b) + 5d(a + b) = (a+b)(12 - c + 5d)$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $(a+b)(12 - c + 5d)$.

2) В выражении $14(m - n) + x(m - n) - 3x(m - n)$ все слагаемые имеют общий множитель $(m-n)$. Вынесем его за скобки.

$14(m - n) + x(m - n) - 3x(m - n) = (m-n)(14 + x - 3x)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$14 + x - 3x = 14 - 2x$

В полученном выражении $14 - 2x$ можно вынести за скобки общий множитель 2:

$14 - 2x = 2(7 - x)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(m-n) \cdot 2(7-x) = 2(m-n)(7-x)$

Ответ: $2(m-n)(7-x)$.

3) В выражении $-1,5(x + y) + x(x + y) - y(x + y) + (x + y)$ общим множителем является $(x+y)$. Важно заметить, что последнее слагаемое $(x+y)$ можно представить как $1 \cdot (x+y)$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$-1,5(x + y) + x(x + y) - y(x + y) + 1 \cdot (x + y) = (x+y)(-1,5 + x - y + 1)$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые (числовые):

$-1,5 + x - y + 1 = x - y - 0,5$

В итоге получаем:

$(x+y)(x - y - 0,5)$

Ответ: $(x+y)(x - y - 0,5)$.

4) В выражении $(t + k) - 8x(t + k) - 16(t + k)$ общим множителем является $(t+k)$. Первое слагаемое $(t+k)$ можно записать как $1 \cdot (t+k)$.

Вынесем $(t+k)$ за скобки:

$1 \cdot (t+k) - 8x(t + k) - 16(t + k) = (t+k)(1 - 8x - 16)$

Упростим выражение во второй скобке:

$1 - 8x - 16 = -8x - 15$

Для более эстетичной записи можно вынести знак минус из второй скобки:

$-8x - 15 = -(8x + 15)$

В итоге получаем:

$(t+k)(-(8x + 15)) = -(t+k)(8x+15)$

Ответ: $-(t+k)(8x+15)$.

5) В многочлене $(c + d)x - (c + d)y + 5(c + d) + 5xy(c + d)$ все слагаемые содержат общий множитель $(c+d)$.

Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(c+d)(x - y + 5 + 5xy)$

Выражение во второй скобке $x - y + 5 + 5xy$ нельзя разложить на множители стандартными методами группировки, поэтому оставляем его в таком виде.

Ответ: $(c+d)(x - y + 5 + 5xy)$.

6) В выражении $5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - (3a - 8)$ общим множителем является $(3a-8)$. Последнее слагаемое $-(3a - 8)$ можно записать как $-1 \cdot (3a - 8)$.

Вынесем общий множитель $(3a-8)$ за скобки:

$(3a-8)(5a - 3b + 9ab - 1)$

Выражение во второй скобке $5a - 3b + 9ab - 1$ не удается разложить на множители методом группировки.

Ответ: $(3a-8)(5a - 3b + 9ab - 1)$.

7) В выражении $7y(7x - y) + x(7x - y) - 7xy(7x - y) + (7x - y)$ общим множителем является $(7x-y)$. Последнее слагаемое $(7x-y)$ можно представить как $1 \cdot (7x-y)$.

Вынесем общий множитель $(7x-y)$ за скобки:

$(7x-y)(7y + x - 7xy + 1)$

Выражение во второй скобке $7y + x - 7xy + 1$ не раскладывается на множители методом группировки.

Ответ: $(7x-y)(7y + x - 7xy + 1)$.

8) В выражении $(a + b)^2(x + y) - x(a + b)^2 - y(a + b)^2 + (a + b)^2$ общим множителем для всех слагаемых является $(a+b)^2$. Последнее слагаемое $(a+b)^2$ можно представить как $1 \cdot (a+b)^2$.

Вынесем $(a+b)^2$ за скобки:

$(a+b)^2((x+y) - x - y + 1)$

Теперь упростим выражение во второй, большой скобке. Для этого раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x+y) - x - y + 1 = x + y - x - y + 1 = (x-x) + (y-y) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Таким образом, исходное выражение равно:

$(a+b)^2 \cdot 1 = (a+b)^2$

Ответ: $(a+b)^2$.