Номер 15.7, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.7. Разложите на множители многочлены:

1) $4b(7-8a) + a(8a - 7) - (14 - 16a) + (7 - 8a)ab$;

2) $3x(5y - 4) - y(4 - 5y) + (15y-12) - 3xy(4 - 5y)$;

3) $mn(m - 3n) -m(m-3n)-n(m-3n) + 8(6n - 2m)$;

4) $(-\frac{2}{3}t + k)x - (k - \frac{2}{3}t)y + (3k - 2t)xy - (-2t + 3k)$.

1) Рассмотрим многочлен $4b(7-8a) + a(8a-7) - (14-16a) + (7-8a)ab$.

Наша цель - найти общий множитель для всех слагаемых. Заметим, что выражения в скобках похожи друг на друга. Приведем их к одному виду, например, к $(7-8a)$.

Преобразуем каждое слагаемое:

• Первое слагаемое $4b(7-8a)$ уже содержит множитель $(7-8a)$.
• Второе слагаемое: $a(8a-7) = a \cdot (-1) \cdot (7-8a) = -a(7-8a)$.
• Третье слагаемое: $-(14-16a) = -2(7-8a)$.
• Четвертое слагаемое: $(7-8a)ab = ab(7-8a)$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

$4b(7-8a) - a(7-8a) - 2(7-8a) + ab(7-8a)$

Теперь мы видим, что $(7-8a)$ является общим множителем для всех слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(7-8a)(4b - a - 2 + ab)$

Для удобства можно перегруппировать слагаемые во второй скобке:

$(7-8a)(ab + 4b - a - 2)$

Ответ: $(7-8a)(ab + 4b - a - 2)$

2) Рассмотрим многочлен $3x(5y-4) - y(4-5y) + (15y-12) - 3xy(4-5y)$.

Приведем все выражения в скобках к общему виду $(5y-4)$.

• $-y(4-5y) = -y \cdot (-(5y-4)) = y(5y-4)$.
• $(15y-12) = 3(5y-4)$.
• $-3xy(4-5y) = -3xy \cdot (-(5y-4)) = 3xy(5y-4)$.

Подставим преобразованные слагаемые в исходное выражение:

$3x(5y-4) + y(5y-4) + 3(5y-4) + 3xy(5y-4)$

Теперь вынесем общий множитель $(5y-4)$ за скобки:

$(5y-4)(3x + y + 3 + 3xy)$

Ответ: $(5y-4)(3xy + 3x + y + 3)$

3) Рассмотрим многочлен $mn(m-3n) - m(m-3n) - n(m-3n) + 8(6n-2m)$.

Первые три слагаемых уже содержат общий множитель $(m-3n)$. Преобразуем последнее слагаемое, чтобы выделить тот же множитель:

$8(6n-2m) = 8 \cdot 2(3n-m) = 16(3n-m) = -16(m-3n)$

Подставим преобразованное слагаемое в выражение:

$mn(m-3n) - m(m-3n) - n(m-3n) - 16(m-3n)$

Вынесем общий множитель $(m-3n)$ за скобки:

$(m-3n)(mn - m - n - 16)$

Ответ: $(m-3n)(mn - m - n - 16)$

4) Рассмотрим многочлен $(-\frac{2}{3}t + k)x - (k - \frac{2}{3}t)y + (3k - 2t)xy - (-2t + 3k)$.

Заметим, что все выражения в скобках можно свести к общему виду $(k - \frac{2}{3}t)$.

• $(-\frac{2}{3}t + k) = (k - \frac{2}{3}t)$.
• Второе слагаемое уже содержит нужный множитель.
• $(3k - 2t) = 3(k - \frac{2}{3}t)$.
• $-(-2t + 3k) = -(3k - 2t) = -3(k - \frac{2}{3}t)$.

Подставим преобразованные множители в исходное выражение:

$(k - \frac{2}{3}t)x - (k - \frac{2}{3}t)y + 3(k - \frac{2}{3}t)xy - 3(k - \frac{2}{3}t)$

Вынесем общий множитель $(k - \frac{2}{3}t)$ за скобки:

$(k - \frac{2}{3}t)(x - y + 3xy - 3)$

Перегруппируем слагаемые во второй скобке для более стандартного вида:

$(k - \frac{2}{3}t)(3xy + x - y - 3)$

Ответ: $(k - \frac{2}{3}t)(3xy + x - y - 3)$