Номер 15.4, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители многочлены (15.1–15.5):

15.4.

1) $16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc;$

2) $9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2;$

3) $\frac{3}{16}a^4bc + \frac{7}{32}a^3bc - \frac{9}{64}a^4b^2c;$

4) $\frac{5}{9}x^8y^2z^3 + \frac{11}{27}x^6y^3z^2 - \frac{11}{54}x^7y^4z;$

5) $0,125m^2n^3 - 0,25mn + 0,625m^2n;$

6) $328t^2k^3 + 82t^2k^2 - 246t^3k^2;$

7) $0,09m^6n^5 + 0,27m^3n^8 - 0,09m^3n^5;$

8) $1,6t^{11}k^4 - 3,2t^{10}k + 0,8t^9k;$

9) $14m^4 - 49m^2nk + 7m^2n;$

10) $-8t^8k^3y + 64t^3k^8 - 4t^3k^3.$

1) В многочлене $16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc$ найдём общий множитель. Наибольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов 16, 32 и 64 равен 16. Общими для всех членов переменными являются $a$ в наименьшей степени 1 ($a^1$) и $b$ в наименьшей степени 1 ($b^1$). Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $16ab$. Вынесем его за скобки, для этого разделим каждый член многочлена на $16ab$: $16a^2b^3 : (16ab) = ab^2$; $-32ab^2 : (16ab) = -2b$; $64abc : (16ab) = 4c$. Следовательно, разложение на множители имеет вид: $16ab(ab^2 - 2b + 4c)$. Ответ: $16ab(ab^2 - 2b + 4c)$.

2) В многочлене $9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2$ найдём общий множитель. НОД коэффициентов 9, 27 и 54 равен 9. Общие переменные в наименьших степенях: $x$ и $y$. Общий множитель равен $9xy$. Выносим его за скобки: $9xy(\frac{9x^3y^4}{9xy} - \frac{27x^2yz}{9xy} + \frac{54xy^2}{9xy}) = 9xy(x^2y^3 - 3xz + 6y)$. Ответ: $9xy(x^2y^3 - 3xz + 6y)$.

3) В многочлене $\frac{3}{16}a^4bc + \frac{7}{32}a^3bc - \frac{9}{64}a^4b^2c$ общим множителем для дробных коэффициентов будет дробь, числитель которой равен НОД числителей (3, 7, 9), а знаменатель - наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей (16, 32, 64). НОД(3, 7, 9) = 1, НОК(16, 32, 64) = 64. Значит, общий числовой множитель равен $\frac{1}{64}$. Общие переменные в наименьших степенях: $a^3bc$. Итак, общий множитель всего выражения: $\frac{1}{64}a^3bc$. Выносим его: $\frac{1}{64}a^3bc(\frac{\frac{3}{16}a^4bc}{\frac{1}{64}a^3bc} + \frac{\frac{7}{32}a^3bc}{\frac{1}{64}a^3bc} - \frac{\frac{9}{64}a^4b^2c}{\frac{1}{64}a^3bc}) = \frac{1}{64}a^3bc(12a + 14 - 9ab)$. Ответ: $\frac{1}{64}a^3bc(12a + 14 - 9ab)$.

4) Для многочлена $\frac{5}{9}x^8y^2z^3 + \frac{11}{27}x^6y^3z^2 - \frac{11}{54}x^7y^4z$ общий числовой множитель равен $\frac{НОД(5, 11, 11)}{НОК(9, 27, 54)} = \frac{1}{54}$. Общие переменные в наименьших степенях: $x^6y^2z$. Общий множитель выражения: $\frac{1}{54}x^6y^2z$. Вынесем его за скобки: $\frac{1}{54}x^6y^2z(\frac{5}{9} \cdot 54 x^2z^2 + \frac{11}{27} \cdot 54 yz - \frac{11}{54} \cdot 54 xy^2) = \frac{1}{54}x^6y^2z(30x^2z^2 + 22yz - 11xy^2)$. Ответ: $\frac{1}{54}x^6y^2z(30x^2z^2 + 22yz - 11xy^2)$.

5) В многочлене $0,125m^2n^3 - 0,25mn + 0,625m^2n$ НОД десятичных коэффициентов 0,125, 0,25 и 0,625 равен 0,125. Общие переменные в наименьших степенях: $m$ и $n$. Общий множитель равен $0,125mn$. Выносим его за скобки: $0,125mn(\frac{0,125m^2n^3}{0,125mn} - \frac{0,25mn}{0,125mn} + \frac{0,625m^2n}{0,125mn}) = 0,125mn(mn^2 - 2 + 5m)$. Ответ: $0,125mn(mn^2 - 2 + 5m)$.

6) Для многочлена $328t^2k^3 + 82t^2k^2 - 246t^3k^2$ найдём НОД коэффициентов: НОД(328, 82, 246) = 82, так как $328 = 4 \cdot 82$ и $246 = 3 \cdot 82$. Общие переменные в наименьших степенях: $t^2k^2$. Общий множитель равен $82t^2k^2$. Выносим его: $82t^2k^2(\frac{328t^2k^3}{82t^2k^2} + \frac{82t^2k^2}{82t^2k^2} - \frac{246t^3k^2}{82t^2k^2}) = 82t^2k^2(4k + 1 - 3t)$. Ответ: $82t^2k^2(4k + 1 - 3t)$.

7) В многочлене $0,09m^6n^5 + 0,27m^3n^8 - 0,09m^3n^5$ НОД коэффициентов 0,09, 0,27 и 0,09 равен 0,09. Общие переменные в наименьших степенях: $m^3n^5$. Общий множитель равен $0,09m^3n^5$. Выносим его: $0,09m^3n^5(\frac{0,09m^6n^5}{0,09m^3n^5} + \frac{0,27m^3n^8}{0,09m^3n^5} - \frac{0,09m^3n^5}{0,09m^3n^5}) = 0,09m^3n^5(m^3 + 3n^3 - 1)$. Ответ: $0,09m^3n^5(m^3 + 3n^3 - 1)$.

8) Для многочлена $1,6t^{11}k^4 - 3,2t^{10}k + 0,8t^9k$ НОД коэффициентов 1,6, 3,2 и 0,8 равен 0,8. Общие переменные в наименьших степенях: $t^9k$. Общий множитель равен $0,8t^9k$. Выносим его: $0,8t^9k(\frac{1,6t^{11}k^4}{0,8t^9k} - \frac{3,2t^{10}k}{0,8t^9k} + \frac{0,8t^9k}{0,8t^9k}) = 0,8t^9k(2t^2k^3 - 4t + 1)$. Ответ: $0,8t^9k(2t^2k^3 - 4t + 1)$.

9) В многочлене $14m^4 - 49m^2nk + 7m^2n$ НОД коэффициентов 14, 49 и 7 равен 7. Единственная общая переменная для всех членов - это $m$ в наименьшей степени 2, то есть $m^2$. Общий множитель равен $7m^2$. Выносим его: $7m^2(\frac{14m^4}{7m^2} - \frac{49m^2nk}{7m^2} + \frac{7m^2n}{7m^2}) = 7m^2(2m^2 - 7nk + n)$. Ответ: $7m^2(2m^2 - 7nk + n)$.

10) В многочлене $-8t^8k^3y + 64t^3k^8 - 4t^3k^3$ НОД модулей коэффициентов 8, 64 и 4 равен 4. Так как первый член отрицательный, удобно вынести за скобку множитель с отрицательным знаком, то есть -4. Общие переменные в наименьших степенях: $t^3k^3$. Общий множитель равен $-4t^3k^3$. Выносим его: $-4t^3k^3(\frac{-8t^8k^3y}{-4t^3k^3} + \frac{64t^3k^8}{-4t^3k^3} - \frac{4t^3k^3}{-4t^3k^3}) = -4t^3k^3(2t^5y - 16k^5 + 1)$. Ответ: $-4t^3k^3(2t^5y - 16k^5 + 1)$.