Номер 14.8, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.8. 1) Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $(20x^5 - 14x^4) : 0,2x^4 \ge (99x^7 - x^6) : x^6 - 29.$

2) Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $(36x^{13} - 5x^{10}) : x^9 - 5 > (72x^5 + 300x) : 2x.$

1) Решим неравенство $(20x^5 - 14x^4) : 0,2x^4 \ge (99x^7 - x^6) : x^6 - 29$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в выражении есть деление на переменные, необходимо исключить значения $x$, при которых делители обращаются в ноль.

$0,2x^4 \ne 0 \implies x^4 \ne 0 \implies x \ne 0$.

$x^6 \ne 0 \implies x \ne 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne 0$.

Теперь упростим левую и правую части неравенства, представив деление в виде дробей.

Левая часть: $\frac{20x^5 - 14x^4}{0,2x^4}$.

Вынесем общий множитель $x^4$ в числителе: $\frac{x^4(20x - 14)}{0,2x^4}$.

Так как $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x^4$:

$\frac{20x - 14}{0,2} = \frac{20x}{0,2} - \frac{14}{0,2} = 100x - 70$.

Правая часть: $\frac{99x^7 - x^6}{x^6} - 29$.

Аналогично вынесем $x^6$ в числителе дроби: $\frac{x^6(99x - 1)}{x^6} - 29$.

Сокращаем на $x^6$:

$(99x - 1) - 29 = 99x - 30$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$100x - 70 \ge 99x - 30$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$100x - 99x \ge 70 - 30$

$x \ge 40$.

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

В задаче требуется найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству. Множество целых чисел, удовлетворяющих условию $x \ge 40$, — это $40, 41, 42, \dots$. Наименьшим в этом множестве является число 40.

Ответ: 40.

2) Решим неравенство $(36x^{13} - 5x^{10}) : x^9 - 5 > (72x^5 + 300x) : 2x$.

Определим ОДЗ. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x^9 \ne 0 \implies x \ne 0$.

$2x \ne 0 \implies x \ne 0$.

ОДЗ: $x \ne 0$.

Упростим обе части неравенства, помня о порядке действий (деление выполняется до вычитания).

Левая часть: $\frac{36x^{13} - 5x^{10}}{x^9} - 5$.

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{36x^{13}}{x^9} - \frac{5x^{10}}{x^9} - 5 = 36x^4 - 5x - 5$.

Правая часть: $\frac{72x^5 + 300x}{2x}$.

Вынесем общий множитель $2x$ в числителе: $\frac{2x(36x^4 + 150)}{2x}$.

Так как $x \ne 0$, сокращаем на $2x$:

$36x^4 + 150$.

Подставим упрощенные выражения в неравенство:

$36x^4 - 5x - 5 > 36x^4 + 150$.

Слагаемое $36x^4$ присутствует в обеих частях неравенства, поэтому мы можем его вычесть из обеих частей:

$-5x - 5 > 150$.

Перенесем -5 в правую часть, изменив знак:

$-5x > 150 + 5$

$-5x > 155$.

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{155}{-5}$

$x < -31$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

В задаче требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, которые меньше -31, — это $\dots, -34, -33, -32$. Наибольшим среди них является -32.

Ответ: -32.