Вопрос критерии успеха, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как разложить многочлен на множители способом группировки?

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, который применяется для многочленов, не имеющих общего множителя для всех своих членов. Обычно он используется для многочленов, состоящих из четырех или более (как правило, четного числа) слагаемых.

Суть метода заключается в том, чтобы объединить члены многочлена в группы, в каждой из которых можно вынести за скобки общий множитель, и после этого преобразования должен появиться новый общий множитель (в виде скобки) уже для всех групп.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки:

1. Объединить (сгруппировать) члены многочлена в такие группы (обычно по два), чтобы у слагаемых в каждой группе был свой общий множитель. Иногда для этого требуется предварительно поменять слагаемые местами.
2. В каждой группе вынести общий множитель за скобки.
3. В результате должен появиться общий для всех полученных групп множитель (чаще всего это выражение в скобках).
4. Вынести этот общий множитель за скобки.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах.

Пример 1

Разложить на множители многочлен $ax + bx + ay + by$.

1. Сгруппируем слагаемые. Наиболее очевидный способ — сгруппировать первые два и последние два члена: $(ax + bx) + (ay + by)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе общий множитель — это $x$, во второй — $y$.

$x(a + b) + y(a + b)$

3. Мы видим, что теперь у обоих слагаемых есть общий множитель — это скобка $(a + b)$. Вынесем его за скобки.

$(a + b)(x + y)$

Таким образом, многочлен разложен на два множителя. Проверить результат можно, раскрыв скобки: $(a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by$.

Ответ: $(a + b)(x + y)$

Пример 2

Разложить на множители многочлен $x^3 - 5x^2 + 2x - 10$.

1. Сгруппируем попарно: $(x^3 - 5x^2) + (2x - 10)$.

2. В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй — $2$.

$x^2(x - 5) + 2(x - 5)$

3. Общим множителем является скобка $(x - 5)$. Вынесем её.

$(x - 5)(x^2 + 2)$

Ответ: $(x - 5)(x^2 + 2)$

Пример 3

Разложить на множители многочлен $xy - 12 + 4x - 3y$.

Если мы попробуем сгруппировать слагаемые в том порядке, в котором они даны, то получим $(xy - 12) + (4x - 3y)$. В этих группах нет очевидных общих множителей. Поэтому нужно переставить слагаемые.

Попробуем сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым. Для этого поменяем местами $-12$ и $4x$.

$xy + 4x - 3y - 12$

Теперь применим алгоритм:

1. Группируем: $(xy + 4x) + (-3y - 12)$.

2. Выносим общие множители. Из первой скобки выносим $x$, из второй — $-3$. Важно обратить внимание на знак: когда мы выносим $-3$ из $-12$, остается $+4$.

$x(y + 4) - 3(y + 4)$

3. Выносим общую скобку $(y + 4)$.

$(y + 4)(x - 3)$

Ответ: $(y + 4)(x - 3)$