Вопрос критерии успеха, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как по графику узнать, задает он функцию или нет?

Чтобы по графику определить, задает он функцию или нет, нужно проверить, выполняется ли для этого графика основное требование, заложенное в определении функции.

Определение функции

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ (аргументу) из области определения соответствует одно и только одно значение зависимой переменной $y$ (значение функции). Ключевым здесь является слово «единственное».

Метод проверки: Тест с вертикальной прямой

Для графической проверки этого условия существует очень простой и наглядный метод — тест с вертикальной прямой.

Правило заключается в следующем: если любая вертикальная прямая, проведенная через область определения графика, пересекает его не более чем в одной точке, то этот график задает функцию. Если же можно найти хотя бы одну вертикальную прямую, которая пересекает график в двух или более точках, то этот график функцией не является.

Почему этот метод работает?

Вертикальная прямая на координатной плоскости задается уравнением вида $x = c$, где $c$ — это некая константа. Это означает, что все точки на такой прямой имеют одну и ту же абсциссу (координату $x$). Если такая прямая пересекает график в нескольких точках, например, $(c, y_1)$ и $(c, y_2)$, это значит, что одному значению аргумента $x=c$ соответствуют несколько разных значений $y$. Это прямо нарушает определение функции, которое требует единственности значения $y$ для каждого $x$.

Пример 1: График является функцией

Рассмотрим график параболы, заданной уравнением $y = x^2$. Какую бы вертикальную прямую мы ни провели (например, $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$), она всегда будет пересекать параболу ровно в одной точке. Поскольку невозможно найти вертикальную прямую, которая пересекла бы этот график более одного раза, мы заключаем, что $y = x^2$ — это функция.

Пример 2: График не является функцией

Теперь рассмотрим график окружности с центром в начале координат, например, $x^2 + y^2 = 9$. Если мы проведем вертикальную прямую $x = 1$, она пересечет окружность в двух точках: $(1, \sqrt{8})$ и $(1, -\sqrt{8})$. Так как одному значению $x=1$ соответствуют два различных значения $y$, данный график не задает функцию.

Ответ: Чтобы по графику узнать, задает он функцию или нет, необходимо применить тест с вертикальной прямой. Если любая воображаемая вертикальная линия, параллельная оси $OY$, пересекает график не более чем в одной точке, то график задает функцию. Если же найдется хотя бы одна такая вертикальная линия, которая пересекает график в двух или более точках, то это не функция.