Вопрос критерии успеха, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как с помощью графика функции найти ее область определения?

Область определения функции, обозначаемая как $D(f)$ или $D(y)$, – это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Чтобы найти область определения по графику, нужно определить, для каких значений на оси $x$ (оси абсцисс) существуют точки на графике.

Проще говоря, представьте, что вы "сплющиваете" или проецируете весь график на ось $x$. Тот участок или набор участков, которые окажутся "покрыты" этой проекцией, и есть область определения.

Алгоритм нахождения области определения по графику:

1. Посмотрите на график и мысленно двигайтесь по оси $x$ слева направо, от минус бесконечности ($-\infty$) до плюс бесконечности ($+\infty$).

2. Определите самую левую точку графика. Координата $x$ этой точки будет началом области определения.

- Если точка закрашена (●), то значение включается в область определения (используется квадратная скобка, например, $[-5,...$).

- Если точка выколота (○) или график уходит в бесконечность влево, то значение не включается (используется круглая скобка, например, $(-5,...$ или $(-\infty,...$).

3. Определите самую правую точку графика. Координата $x$ этой точки будет концом области определения. Правила для скобок те же, что и в предыдущем пункте.

4. Изучите график на наличие разрывов, "дырок" (выколотых точек) или вертикальных асимптот (вертикальных прямых, к которым график бесконечно приближается, но не пересекает). Координаты $x$ таких точек или целых интервалов должны быть исключены из области определения.

5. Запишите все полученные интервалы. Если их несколько, объедините их с помощью знака $\cup$.

Ответ: Чтобы найти область определения функции по ее графику, необходимо найти проекцию этого графика на ось абсцисс ($Ox$). Полученное множество значений $x$ и будет являться областью определения, при этом нужно обратить внимание на выколотые точки, разрывы и поведение функции на бесконечности.

Пример 1: График ограничен с обеих сторон

Предположим, у нас есть график, который начинается в точке с координатами $(-2, 3)$, причем эта точка закрашена, а заканчивается в точке $(5, 1)$, которая является выколотой. Между этими точками график непрерывен.

- Левая граница: $x = -2$. Точка закрашена, значит, значение включается. Используем скобку $[$.

- Правая граница: $x = 5$. Точка выколота, значит, значение исключается. Используем скобку $)$.

- Разрывов между $-2$ и $5$ нет.

Объединяем все в один интервал.

Ответ: Область определения для такого графика будет $D(y) = [-2, 5)$.

Пример 2: График с выколотой точкой

Рассмотрим график функции, который выглядит как парабола, но в точке, где $x=1$, на графике есть "дырка" (выколотая точка). При этом ветви параболы уходят в бесконечность и влево, и вправо.

- График существует на всем протяжении оси $x$ от $-\infty$ до $+\infty$.

- Однако в точке $x=1$ функция не определена (там выколотая точка).

- Следовательно, мы должны исключить только одно это значение из всей числовой прямой.

Ответ: Область определения для такого графика будет $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Пример 3: График с вертикальной асимптотой

Представим график, который имеет вертикальную асимптоту при $x=-3$. Это означает, что при приближении к $x=-3$ с обеих сторон, ветви графика уходят в плюс или минус бесконечность, но никогда не пересекают прямую $x=-3$. В остальном график существует на всей числовой прямой.

- График существует для всех $x$ слева от $-3$.

- График существует для всех $x$ справа от $-3$.

- В самой точке $x=-3$ функция не определена.

Ответ: Область определения для такого графика будет $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.