Вопросы для закрепления, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Могут ли быть графиком функции три точки координатной плоскости?

2. Всякий ли график задает функцию?

1. Да, три точки координатной плоскости могут быть графиком функции, но при выполнении определенного условия.

По определению, функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества (области определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$). На графике это означает, что не может быть двух или более точек с одинаковыми абсциссами (координатами $x$), но разными ординатами (координатами $y$).

Рассмотрим два варианта. Первый вариант: точки имеют разные абсциссы. Например, возьмем точки $A(1, 3)$, $B(2, 5)$ и $C(-1, 0)$. У этих точек абсциссы равны $1$, $2$ и $-1$. Все они различны. Каждому значению $x$ из множества $\{-1, 1, 2\}$ соответствует ровно одно значение $y$. Следовательно, эти три точки являются графиком функции, заданной на множестве из трех элементов.

Второй вариант: хотя бы две точки имеют одинаковые абсциссы. Например, возьмем точки $A(1, 3)$, $B(1, 5)$ и $C(2, 4)$. Здесь одному значению аргумента $x=1$ соответствуют два разных значения функции: $y=3$ и $y=5$. Это противоречит определению функции, поэтому такой набор точек не может быть ее графиком.

Таким образом, три точки могут быть графиком функции только в том случае, если все их абсциссы различны.

Ответ: Да, могут, если у всех трех точек разные абсциссы.

2. Нет, не всякий график задает функцию.

График — это произвольное множество точек на координатной плоскости. Чтобы он задавал функцию $y=f(x)$, он должен проходить "тест вертикальной линии": любая прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$), должна пересекать график не более чем в одной точке. Если найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то этот график не является графиком функции.

Примером графика, который не задает функцию, является окружность. График окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = R^2$ (где $R>0$ — радиус), не является графиком функции. Например, для окружности $x^2 + y^2 = 25$ значению $x=3$ соответствуют два значения $y$: $y=4$ и $y=-4$. Вертикальная прямая $x=3$ пересекает окружность в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$, что нарушает определение функции.

Другой пример — вертикальная прямая с уравнением $x=c$ (где $c$ — константа). Здесь одному значению $x=c$ соответствует бесконечное множество значений $y$, что также не является функцией.

Ответ: Нет, не всякий. График задает функцию только в том случае, если любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.