Вопрос критерии успеха, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему функцию можно задать с помощью графика?

Функцию можно задать с помощью графика, потому что график является наглядным, визуальным представлением самого определения функции. Это можно объяснить, разбив на несколько ключевых моментов.

Определение функции

В математике функция – это правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений). Ключевое слово здесь – "единственный". Одному значению аргумента $x$ не может соответствовать два или более разных значения функции $y$. Задать функцию — значит указать это правило соответствия. Ответ: функция – это правило, устанавливающее однозначное соответствие между элементами двух множеств.

График как множество точек

График в прямоугольной системе координат – это множество всех точек, координаты которых $(x, y)$ удовлетворяют определённому соотношению. Каждая точка на плоскости представляет собой упорядоченную пару чисел: абсциссу $x$ и ординату $y$. Таким образом, любая линия или кривая на плоскости — это визуализация бесконечного (или конечного) набора таких пар $(x, y)$. Ответ: график представляет собой набор точек, каждая из которых соответствует паре координат $(x, y)$.

Связь между функцией и графиком

Именно здесь и происходит соединение понятий. График функции $y = f(x)$ – это множество всех точек на координатной плоскости, имеющих координаты $(x, f(x))$, где $x$ "пробегает" всю область определения функции. Другими словами, график – это способ перечислить все возможные пары (аргумент, значение функции) в виде геометрических точек.

Когда мы смотрим на график, мы видим это правило соответствия в действии:

• Выбирая любую точку на оси абсцисс (ось Ox), мы задаем значение аргумента $x$.
• Поднимаясь или опускаясь от этой точки вертикально до пересечения с линией графика, мы находим ту самую точку $(x, f(x))$.
• Проведя от этой точки горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (ось Oy), мы находим соответствующее ей единственное значение функции $y = f(x)$.

Таким образом, график не просто иллюстрация, а полноценный способ задания функции, поскольку он содержит всю информацию о том, какому $y$ соответствует каждый $x$. Ответ: график функции является полным визуальным представлением всех пар "аргумент-значение", то есть самим правилом, задающим функцию.

Критерий единственности (Тест с вертикальной линией)

То, что график действительно задает функцию, подтверждается "тестом с вертикальной линией". Если любая вертикальная линия, проведенная на плоскости, пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции. Почему? Вертикальная линия соответствует одному конкретному значению $x$ (например, линия $x=c$). Если бы она пересекала график в двух точках, например, $(c, y_1)$ и $(c, y_2)$, это означало бы, что одному значению аргумента $x=c$ соответствуют два разных значения функции, $y_1$ и $y_2$. А это, как мы помним из определения, для функции невозможно. Таким образом, если график проходит тест с вертикальной линией, он однозначно задает функциональную зависимость. Ответ: возможность задать функцию графиком основана на том, что график визуально реализует главное свойство функции — единственность значения $y$ для каждого $x$ из области определения, что проверяется тестом с вертикальной линией.