Номер 3, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 16. Таблицы основных степеней. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства - номер 3, страница 60.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Требуется найти число, которое при возведении в пятую степень равно -1. Обозначим это число через $x$. Получаем уравнение $x^5 = -1$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень пятой степени из -1. Так как показатель степени 5 является нечётным числом, то для получения отрицательного результата основание степени также должно быть отрицательным. Мы знаем, что $1^5 = 1$, поэтому можно предположить, что $x = -1$. Проверим: $(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$. Это верное равенство.
Ответ: -1

б) В данном уравнении необходимо найти показатель степени. Обозначим его через $x$. Уравнение выглядит так: $(-2)^x = -32$. Основание степени (-2) отрицательное, и результат (-32) также отрицательный. Это означает, что показатель степени $x$ должен быть нечётным числом. Теперь найдём, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 32. Последовательно возводим в степень: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$. Таким образом, искомый показатель степени равен 5. Проверим: $(-2)^5 = -32$.
Ответ: 5

в) Здесь нужно найти основание степени. Обозначим его $x$. Получаем уравнение: $x^3 = -0,216$. Для нахождения $x$ необходимо извлечь кубический корень из -0,216. $x = \sqrt[3]{-0,216}$. Так как показатель степени 3 — нечётное число, основание $x$ будет отрицательным. Переведём десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $-0,216 = -\frac{216}{1000}$. Тогда $x = \sqrt[3]{-\frac{216}{1000}} = -\frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{1000}}$. Мы знаем, что $6^3 = 216$ и $10^3 = 1000$. Следовательно, $x = -\frac{6}{10} = -0,6$.
Ответ: -0,6

г) В уравнении $\left( - \_\_ \right)^6 = \frac{1}{64}$ пропущено число в скобках. Обозначим его $x$. Тогда уравнение примет вид $(-x)^6 = \frac{1}{64}$. Поскольку показатель степени 6 является чётным числом, $(-x)^6 = x^6$. Следовательно, $x^6 = \frac{1}{64}$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень шестой степени. Так как степень чётная, существует два действительных корня: $x = \pm\sqrt[6]{\frac{1}{64}}$. Вычислим корень: $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{1}{2}$, так как $2^6 = 64$. Таким образом, $x = \pm\frac{1}{2}$. Оба значения, $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$, могут быть вписаны в пропуск, так как $(-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$ и $(- (-\frac{1}{2}))^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$ или $-\frac{1}{2}$

д) Требуется найти основание степени $x$ в уравнении $x^4 = 0,0001$. Для этого извлечём корень четвёртой степени из 0,0001. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0001 = \frac{1}{10000}$. Уравнение примет вид $x^4 = \frac{1}{10000}$. Так как показатель степени 4 — чётное число, уравнение имеет два действительных решения. $x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{10000}} = \pm\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{10000}}$. Поскольку $10^4 = 10000$, получаем $x = \pm\frac{1}{10} = \pm 0,1$. Оба значения, 0,1 и -0,1, являются решением.
Ответ: 0,1 или -0,1