Номер 7, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 15. Что такое степень с натуральным показателем. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства - номер 7, страница 58.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Требуется представить числа в виде степени с основанием $a=2$. В задании уже дан пример: $2 = 2^1$.
Для числа 8: необходимо найти такой показатель степени $x$, что $2^x = 8$. Путем последовательного умножения 2 на себя, находим: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$. Таким образом, $x=3$.
Для числа 32: необходимо найти $x$, при котором $2^x = 32$. Продолжая умножение: $2^4 = 16$, $2^5 = 32$. Таким образом, $x=5$.
Для числа 128: необходимо найти $x$, для которого $2^x = 128$. Продолжаем: $2^6 = 64$, $2^7 = 128$. Таким образом, $x=7$.
Ответ: $8 = 2^3$; $32 = 2^5$; $128 = 2^7$.

б) Требуется представить числа в виде степени с основанием $a=0,1$.
Для числа 0,1: любое число в первой степени равно самому себе. Следовательно, $0,1 = (0,1)^1$.
Для числа 0,001: ищем такой показатель степени $x$, чтобы $(0,1)^x = 0,001$. Представим $0,1$ как $\frac{1}{10}$, а $0,001$ как $\frac{1}{1000}$. Так как $10^3 = 1000$, то $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1^3}{10^3} = \frac{1}{1000}$. Следовательно, $(0,1)^3 = 0,001$.
Для числа 0,00001: ищем $x$, чтобы $(0,1)^x = 0,00001$. Представим $0,00001$ как $\frac{1}{100000}$. Так как $10^5 = 100000$, то $(\frac{1}{10})^5 = \frac{1^5}{10^5} = \frac{1}{100000}$. Значит, $(0,1)^5 = 0,00001$. Также можно посчитать количество знаков после запятой (их 5), это и будет искомый показатель степени.
Ответ: $0,1 = (0,1)^1$; $0,001 = (0,1)^3$; $0,00001 = (0,1)^5$.

в) Требуется представить числа в виде степени с основанием $a = -\frac{1}{2}$.
Для числа $\frac{1}{4}$: ищем $x$ в выражении $(-\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4}$. Так как результат ($\frac{1}{4}$) — положительное число, показатель степени $x$ должен быть четным. Знаменатель результата равен 4, а $2^2=4$. Проверим: $(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. Значит, $x=2$.
Для числа $\frac{1}{64}$: ищем $x$ в выражении $(-\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64}$. Результат положительный, значит, $x$ — четное число. Знаменатель равен 64, а $2^6 = 64$. Проверим: $(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$. Значит, $x=6$.
Для числа $-\frac{1}{32}$: ищем $x$ в выражении $(-\frac{1}{2})^x = -\frac{1}{32}$. Результат отрицательный, значит, $x$ — нечетное число. Знаменатель равен 32, а $2^5 = 32$. Проверим: $(-\frac{1}{2})^5 = \frac{(-1)^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$. Значит, $x=5$.
Ответ: $\frac{1}{4} = (-\frac{1}{2})^2$; $\frac{1}{64} = (-\frac{1}{2})^6$; $-\frac{1}{32} = (-\frac{1}{2})^5$.

г) Требуется представить числа в виде степени с основанием $a=-3$.
Для числа 81: ищем $x$ в выражении $(-3)^x = 81$. Так как результат (81) — положительное число, показатель степени $x$ должен быть четным. Известно, что $3^4 = 81$. Проверим: $(-3)^4 = (-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3) = 9 \times 9 = 81$. Значит, $x=4$.
Для числа -27: ищем $x$ в выражении $(-3)^x = -27$. Так как результат (-27) — отрицательное число, $x$ должен быть нечетным. Известно, что $3^3 = 27$. Проверим: $(-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = 9 \times (-3) = -27$. Значит, $x=3$.
Для числа 9: ищем $x$ в выражении $(-3)^x = 9$. Так как результат (9) — положительное число, $x$ должен быть четным. Известно, что $3^2 = 9$. Проверим: $(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9$. Значит, $x=2$.
Ответ: $81 = (-3)^4$; $-27 = (-3)^3$; $9 = (-3)^2$.