Номер 11, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 11, страница 120.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0$

Данное уравнение решается методом разложения на множители. Сначала разложим выражение $(x^2 - 1)$ по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1) = 0$
Теперь мы видим общий множитель $(x - 1)$, который можно вынести за скобки:
$(x - 1)(3x + (x + 1)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(x - 1)(3x + x + 1) = 0$
$(x - 1)(4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{4}$
Ответ: $1; -\frac{1}{4}$.

б) $2(y^2 - 1) - (1 - y^2) = 0$

Раскроем скобки в уравнении. Обратим внимание, что $-(1 - y^2)$ это то же самое, что и $+(y^2 - 1)$.
$2(y^2 - 1) + (y^2 - 1) = 0$
Сложим подобные слагаемые, содержащие выражение $(y^2 - 1)$:
$3(y^2 - 1) = 0$
Разделим обе части уравнения на 3:
$y^2 - 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$y^2 = 1$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про два возможных знака:
$y = \pm\sqrt{1}$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$
Ответ: $1; -1$.

в) $x(2x + 1) = (2x + 1)^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю. Это позволит нам использовать метод разложения на множители.
$x(2x + 1) - (2x + 1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:
$(2x + 1)(x - (2x + 1)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2x + 1)(x - 2x - 1) = 0$
$(2x + 1)(-x - 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -\frac{1}{2}$
2) $-x - 1 = 0 \implies -x = 1 \implies x_2 = -1$
Ответ: $-1; -\frac{1}{2}$.

г) $5(9 - x^2) = x(x - 3)$

Разложим выражение $9 - x^2$ на множители по формуле разности квадратов: $9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$.
$5(3 - x)(3 + x) = x(x - 3)$
Заметим, что множители $(3 - x)$ и $(x - 3)$ отличаются только знаком: $(3 - x) = -(x - 3)$. Сделаем замену:
$5(-(x - 3))(3 + x) = x(x - 3)$
$-5(x - 3)(3 + x) = x(x - 3)$
Перенесем все в левую часть:
$-5(x - 3)(3 + x) - x(x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)[-5(3 + x) - x] = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 3)[-15 - 5x - x] = 0$
$(x - 3)(-6x - 15) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
2) $-6x - 15 = 0 \implies -6x = 15 \implies x = -\frac{15}{6}$, сокращаем дробь на 3: $x_2 = -\frac{5}{2}$
Ответ: $3; -\frac{5}{2}$.