Номер 7, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7, страница 118.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Доказательство:
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:
$(a + 1)^3 - (a + 1) = (a + 1) \cdot ((a + 1)^2 - 1)$
Выражение во второй скобке $((a + 1)^2 - 1)$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + 1$ и $y = 1$:
$(a + 1) \cdot [((a + 1) - 1)((a + 1) + 1)]$
Упростим выражения во внутренних скобках:
$(a + 1) \cdot (a) \cdot (a + 2)$
Переставим множители, чтобы получить выражение, соответствующее правой части исходного равенства:
$a(a + 1)(a + 2)$
Таким образом, левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество $(a + 1)^3 - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2)$ доказано.

б)

Доказательство:
Преобразуем левую часть тождества. Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:
$(a - 1)^3 - 4(a - 1) = (a - 1) \cdot ((a - 1)^2 - 4)$
Выражение во второй скобке $((a - 1)^2 - 4)$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a - 1$ и $y = 2$:
$(a - 1) \cdot [((a - 1) - 2)((a - 1) + 2)]$
Упростим выражения во внутренних скобках:
$(a - 1) \cdot (a - 3) \cdot (a + 1)$
Переставим множители для соответствия правой части исходного равенства:
$(a - 1)(a + 1)(a - 3)$
Таким образом, левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество $(a - 1)^3 - 4(a - 1) = (a - 1)(a + 1)(a - 3)$ доказано.