Номер 3, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 3, страница 117.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $25x^2(x^2 - 1) - 10x(x^2 - 1) + x^2 - 1$

В данном задании уже приведено верное решение. Разберем его по шагам для подтверждения.

1. Исходное выражение: $25x^2(x^2 - 1) - 10x(x^2 - 1) + x^2 - 1$. Заметим, что последние два члена $x^2 - 1$ можно сгруппировать, представив их как $1 \cdot (x^2 - 1)$. Таким образом, $(x^2 - 1)$ является общим множителем для всех слагаемых.

2. Выносим общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(25x^2 - 10x + 1)$

3. Выражение во второй скобке, $25x^2 - 10x + 1$, является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5x$ и $b = 1$:

$25x^2 - 10x + 1 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = (5x - 1)^2$

4. Выражение в первой скобке, $(x^2 - 1)$, является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

5. Объединяя результаты, получаем окончательное разложение на множители, которое совпадает с приведенным в условии:

$(x - 1)(x + 1)(5x - 1)^2$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(5x - 1)^2$

б) $x^2(x - 1) + 4x(x - 1) + (x - 1)$

1. В каждом слагаемом присутствует общий множитель $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$x^2(x - 1) + 4x(x - 1) + 1 \cdot (x - 1) = (x - 1)(x^2 + 4x + 1)$

2. Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 1$. Его дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Так как дискриминант не является полным квадратом, у трехчлена нет целых или рациональных корней, и дальнейшее его разложение на множители с рациональными коэффициентами невозможно. Поэтому полученное выражение является окончательным ответом.

Ответ: $(x - 1)(x^2 + 4x + 1)$

в) $9x^3y - 12x^2y^2 + 4xy^3$

1. Найдем наибольший общий делитель для всех членов многочлена. Общий множитель для переменных - это $xy$. Вынесем $xy$ за скобки:

$9x^3y - 12x^2y^2 + 4xy^3 = xy(9x^2 - 12xy + 4y^2)$

2. Выражение в скобках $9x^2 - 12xy + 4y^2$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3x$ и $b = 2y$:

$9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2 = (3x - 2y)^2$

3. Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом:

$xy(3x - 2y)^2$

Ответ: $xy(3x - 2y)^2$

г) $9a^2(a^2 - b^2) + 12ab(a^2 - b^2) + 4b^2(a^2 - b^2)$

1. Во всех членах выражения есть общий множитель $(a^2 - b^2)$. Вынесем его за скобки:

$(a^2 - b^2)(9a^2 + 12ab + 4b^2)$

2. Выражение во второй скобке, $9a^2 + 12ab + 4b^2$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = 3a$ и $y = 2b$:

$9a^2 + 12ab + 4b^2 = (3a)^2 + 2(3a)(2b) + (2b)^2 = (3a + 2b)^2$

3. Первый множитель, $(a^2 - b^2)$, является разностью квадратов и раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

4. Соединим все части вместе для получения окончательного разложения:

$(a - b)(a + b)(3a + 2b)^2$

Ответ: $(a - b)(a + b)(3a + 2b)^2$