Номер 4, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 4, страница 118.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

б) Для разложения на множители многочлена $4a - 4 - a^3 + a^2$ применим метод группировки. Переставим слагаемые для удобства:

$4a - 4 - a^3 + a^2 = (a^2 - a^3) + (4a - 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы $(a^2 - a^3)$ вынесем $a^2$, а из второй $(4a - 4)$ вынесем 4:

$a^2(1 - a) + 4(a - 1)$

Чтобы получить одинаковые скобки, вынесем знак минус из первой скобки:

$-a^2(a - 1) + 4(a - 1)$

Теперь можно вынести общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a - 1)(4 - a^2)$

Выражение в скобках $(4 - a^2)$ представляет собой разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$

Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители выглядит так:

$(a - 1)(2 - a)(2 + a)$

Ответ: $(a - 1)(2 - a)(2 + a)$.

в) Рассмотрим многочлен $3k^3 + 3k^2 - 3k$.

Первым шагом вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. В данном случае это $3k$:

$3k(k^2 + k - 1)$

Теперь проанализируем квадратный трехчлен $k^2 + k - 1$. Чтобы определить, можно ли его разложить на множители с целыми коэффициентами, найдем его корни с помощью дискриминанта по формуле $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $k^2 + k - 1 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Поскольку дискриминант $D = 5$ не является квадратом целого числа, корни уравнения будут иррациональными. Это означает, что квадратный трехчлен $k^2 + k - 1$ нельзя разложить на множители с целыми (или рациональными) коэффициентами.

Следовательно, выражение $3k(k^2 + k - 1)$ является окончательным разложением исходного многочлена на множители.

Ответ: $3k(k^2 + k - 1)$.