Номер 6, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 6, страница 118.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $4 - a^2 - 2a(4 - a^2) - a^2(a^2 - 4)$.
Заметим, что выражение в последней скобке $a^2 - 4$ является противоположным выражению $4 - a^2$, то есть $a^2 - 4 = -(4 - a^2)$. Подставим это в исходное выражение, чтобы привести все скобки к одному виду:
$4 - a^2 - 2a(4 - a^2) - a^2(-(4 - a^2)) = 4 - a^2 - 2a(4 - a^2) + a^2(4 - a^2)$.
Теперь мы видим общий множитель $(4 - a^2)$, который можно вынести за скобки:
$(4 - a^2)(1 - 2a + a^2)$.
Теперь разложим на множители каждую из скобок.
Первая скобка, $(4 - a^2)$, является разностью квадратов: $4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$.
Вторая скобка, $(1 - 2a + a^2)$, является полным квадратом разности: $1 - 2a + a^2 = (1 - a)^2$.
Подставляя разложенные множители, получаем окончательный вид:
$(2 - a)(2 + a)(1 - a)^2$.
Ответ: $(2 - a)(2 + a)(1 - a)^2$.

б) Исходное выражение: $8a^3 - b^3 + 4a^2 + 2ab + b^2$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: первые два слагаемых и последние три слагаемых.
$(8a^3 - b^3) + (4a^2 + 2ab + b^2)$.
Первая группа, $8a^3 - b^3$, представляет собой разность кубов, так как $8a^3 = (2a)^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$8a^3 - b^3 = (2a)^3 - b^3 = (2a - b)((2a)^2 + 2a \cdot b + b^2) = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$.
Теперь подставим это разложение обратно в сгруппированное выражение:
$(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) + (4a^2 + 2ab + b^2)$.
Мы видим, что выражение $(4a^2 + 2ab + b^2)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:
$(4a^2 + 2ab + b^2)((2a - b) + 1)$.
Упростив вторую скобку, получаем окончательный ответ.
Ответ: $(2a - b + 1)(4a^2 + 2ab + b^2)$.

в) Исходное выражение: $\frac{1}{9}a^3 - 3$.
Для начала вынесем общий множитель $\frac{1}{9}$ за скобки. Для этого второе слагаемое -3 нужно разделить на $\frac{1}{9}$, что эквивалентно умножению на 9:
$\frac{1}{9}(a^3 - 3 \cdot 9) = \frac{1}{9}(a^3 - 27)$.
Выражение в скобках, $(a^3 - 27)$, является разностью кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 27 = a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + a \cdot 3 + 3^2) = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Таким образом, полное разложение на множители выглядит так:
$\frac{1}{9}(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Ответ: $\frac{1}{9}(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.

г) Исходное выражение: $-c + c^7$.
Переставим слагаемые для удобства: $c^7 - c$.
Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$c(c^6 - 1)$.
Выражение в скобках, $c^6 - 1$, можно разложить на множители несколькими способами. Проще всего представить его как разность квадратов, так как $c^6 = (c^3)^2$ и $1 = 1^2$. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$c^6 - 1 = (c^3)^2 - 1^2 = (c^3 - 1)(c^3 + 1)$.
Теперь у нас есть произведение разности кубов $(c^3 - 1)$ и суммы кубов $(c^3 + 1)$. Разложим каждое из этих выражений:
Разность кубов: $c^3 - 1^3 = (c - 1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = (c - 1)(c^2 + c + 1)$.
Сумма кубов: $c^3 + 1^3 = (c + 1)(c^2 - c \cdot 1 + 1^2) = (c + 1)(c^2 - c + 1)$.
Соберем все множители вместе:
$c(c - 1)(c^2 + c + 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)$.
Для более упорядоченного вида запишем множители так:
$c(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$.
Ответ: $c(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$.