Номер 12, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 12, страница 121.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай.

1) Первый множитель равен нулю:

$x - 3 = 0$

$x_1 = 3$

2) Второй множитель равен нулю:

$x^2 + 4 = 0$

$x^2 = -4$

Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: 3.

б) $(x + 1)^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно решить двумя способами.

Способ 1: Перенесем константу в правую часть и извлечем корень.

$(x + 1)^2 = 4$

$x + 1 = \pm\sqrt{4}$

$x + 1 = \pm 2$

Отсюда получаем два уравнения:

$x + 1 = 2 \implies x_1 = 2 - 1 = 1$

$x + 1 = -2 \implies x_2 = -2 - 1 = -3$

Способ 2: Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+1$, $b=2$.

$((x+1) - 2)((x+1) + 2) = 0$

$(x - 1)(x + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

Ответ: -3; 1.

в) $x^3 - 4x^2 + 4x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4x + 4) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$x(x - 2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $(x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: 0; 2.

г) $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$

Решим это уравнение методом группировки слагаемых.

$(x^3 + x^2) - (x + 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобку:

$(x + 1)(x^2 - 1) = 0$

Множитель $(x^2 - 1)$ можно разложить по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0$

$(x + 1)^2(x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Ответ: -1; 1.