Номер 7, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 35. Сокращение алгебраических дробей. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7, страница 124.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Чтобы сократить дробь $\frac{1-3a+3a^2-a^3}{b-ba+c-ca}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. В нашем случае $x=1$ и $y=a$, поэтому:
$1-3a+3a^2-a^3 = (1-a)^3$.
Знаменатель разложим на множители методом группировки:
$b-ba+c-ca = (b-ba) + (c-ca) = b(1-a) + c(1-a) = (b+c)(1-a)$.
Теперь подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(1-a)$:
$\frac{(1-a)^3}{(b+c)(1-a)} = \frac{(1-a)^2}{b+c}$.
Ответ: $\frac{(1-a)^2}{b+c}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель разложим на множители методом группировки:
$a^3 - a^2 - a + 1 = (a^3 - a^2) - (a - 1) = a^2(a - 1) - 1(a - 1) = (a^2 - 1)(a - 1)$.
Применив формулу разности квадратов $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$, получаем:
$(a - 1)(a + 1)(a - 1) = (a - 1)^2(a + 1)$.
Знаменатель является полным квадратом разности. Пусть $x=a^2$, тогда $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Возвращаясь к переменной $a$, получаем:
$a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$.
Применив формулу разности квадратов еще раз, получаем:
$(a^2 - 1)^2 = ((a - 1)(a + 1))^2 = (a - 1)^2(a + 1)^2$.
Теперь подставим полученные выражения в дробь и сократим общие множители $(a - 1)^2(a + 1)$:
$\frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} = \frac{1}{a+1}$.
Ответ: $\frac{1}{a+1}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{4y^2 - 4y + 4}{3y^3 + 3}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4y^2 - 4y + 4 = 4(y^2 - y + 1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки, а затем применим формулу суммы кубов $x^3+z^3 = (x+z)(x^2-xz+z^2)$:
$3y^3 + 3 = 3(y^3 + 1) = 3(y+1)(y^2-y+1)$.
Теперь подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(y^2-y+1)$:
$\frac{4(y^2 - y + 1)}{3(y+1)(y^2 - y + 1)} = \frac{4}{3(y+1)}$.
Ответ: $\frac{4}{3(y+1)}$